(a) Quantas derivadas parciais de n-ésima ordem têm uma função de duas variáveis?
(b) Se essas derivadas parciais forem contínuas, quantas delas podem ser distintas?
(c) Responda a parte (a) da questão para uma função de três variáveis.
(b) Se essas derivadas parciais forem contínuas, quantas delas podem ser distintas?
(c) Responda a parte (a) da questão para uma função de três variáveis.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
-
Perguntas do enunciado:
- (a) Quantas derivadas parciais de ordem
existem para uma função de duas variáveis? - (b) Se essas derivadas parciais forem contínuas, quantas delas podem ser distintas?
- (c) Responder a parte (a) para uma função de três variáveis (ou seja, quantas derivadas parciais de ordem
existem nesse caso).
- (a) Quantas derivadas parciais de ordem
-
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
- Trata-se de derivadas parciais de ordem
(isto é, aplica-se a operação de derivar vezes, cada vez em relação a uma das variáveis). - Para a parte (b) há a hipótese adicional de que essas derivadas parciais de ordem
são contínuas (isso geralmente implica igualdade entre derivadas mistas com ordens de diferenciação permutadas). - Não há números específicos de
dados; as respostas devem ser em função de .
- Trata-se de derivadas parciais de ordem
Passo 2
Entender o que significa “quantas derivadas parciais de ordem
existem” — duas interpretações possíveis:
- Contar sequências de diferenciações onde a ordem importa (por exemplo, para duas variáveis, diferenciar primeiro em
e depois em é uma sequência distinta de diferenciar primeiro em e depois em ). - Contar derivadas distintas quando permutar a ordem não cria uma derivada nova (isto é, reconhecer que misturar as ordens pode dar a mesma derivada se as mistas forem iguais).
A parte (a) pede o total de derivadas parciais de ordem
sem a hipótese de continuidade (portanto a ordem das diferenciações deve ser contada). A parte (b) pede, sob a hipótese de continuidade, quantas delas podem ser distintas (ou seja, identificar as igualdades entre mistas). Na parte (c) pedem só o análogo da (a) para três variáveis (ordem das diferenciações contada).
Passo 3
Contagem para duas variáveis — caso em que a ordem das diferenciações é relevante.
Raciocínio: a cada uma das
operações de diferenciação há duas escolhas possíveis: derivar em relação a
ou em relação a
. Essas escolhas são independentes entre si. Pelo princípio do produto (contagem), o número total de sequências possíveis de
diferenciações é
Exemplo concreto para
: as 4 sequências são
(ou seja,
). Portanto, sem hipóteses adicionais, existem
derivadas parciais de ordem
para uma função de duas variáveis.
Passo 4
Explicação da hipótese de continuidade e sua consequência sobre igualdade de mistas.
Teorema (forma intuitiva): se todas as derivadas parciais necessárias até ordem
são contínuas em um ponto (ou numa vizinhança), então a ordem de diferenciação não importa: qualquer derivada mista obtida aplicando as mesmas derivadas parciais em qualquer ordem dá o mesmo resultado. Para ordem 2 isso é comumente conhecido como teorema de Clairaut (ou Schwarz), e existe versão análoga para ordens maiores.
Consequência prática: as derivadas de ordem
são determinadas apenas por quantas vezes se derivou em cada variável, não pela ordem em que essas derivações foram feitas.
Passo 5
Contagem das derivadas distintas quando a ordem não importa — caso de duas variáveis.
Para uma derivada de ordem
em duas variáveis, basta especificar quantas vezes se derivou em
(digamos
vezes) e quantas vezes em
(serão
vezes). O valor
pode ser qualquer inteiro de
a
. Logo há exatamente
possibilidades diferentes
.
Outra maneira de ver isso é como “combinações com repetição” de um total de
diferenciações distribuídas entre 2 tipos (derivar em
ou em
). A fórmula geral
dá o mesmo resultado.
Exemplo para
: as derivadas distintas são
— exatamente
.
Portanto, se as derivadas parciais de ordem
forem contínuas, no máximo
delas podem ser distintas.
Passo 6
Contagem para três variáveis — interpretação da parte (a) aplicada a 3 variáveis.
Primeiro, contando sequências onde a ordem importa: a cada uma das
diferenciações há 3 escolhas (
ou
). Pelo princípio do produto o número total de sequências possíveis é
Exemplo para
: as 9 sequências são
.
Se fosse pedido também o número de distintas quando as mistas são contínuas, usaríamos combinações com repetição para
variáveis:
. (Isso é só para referência; a parte (c) pediu só o análogo da (a).)
Passo 7
Resumo curto e motivador: em provas, quando perguntarem “quantas derivadas parciais de ordem
existem”, cheque primeiro se a pergunta quer contar permutações (ordem importa) ou classes de mistas (ordem não importa). Se a hipótese de continuidade for dada, use combinações com repetição; caso contrário, use o princípio do produto (potência do número de variáveis).
Resposta
(a)
(b)
(c)