(a) Quantas derivadas parciais de n-ésima ordem têm uma função de duas variáveis?
(b) Se essas derivadas parciais forem contínuas, quantas delas podem ser distintas?
(c) Responda a parte (a) da questão para uma função de três variáveis.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • Perguntas do enunciado:
    1. (a) Quantas derivadas parciais de ordem n existem para uma função de duas variáveis?
    2. (b) Se essas derivadas parciais forem contínuas, quantas delas podem ser distintas?
    3. (c) Responder a parte (a) para uma função de três variáveis (ou seja, quantas derivadas parciais de ordem n existem nesse caso).
  • Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
    • Trata-se de derivadas parciais de ordem n (isto é, aplica-se a operação de derivar n vezes, cada vez em relação a uma das variáveis).
    • Para a parte (b) há a hipótese adicional de que essas derivadas parciais de ordem n são contínuas (isso geralmente implica igualdade entre derivadas mistas com ordens de diferenciação permutadas).
    • Não há números específicos de n dados; as respostas devem ser em função de n.

Passo 2

Entender o que significa “quantas derivadas parciais de ordem n existem” — duas interpretações possíveis:
  • Contar sequências de diferenciações onde a ordem importa (por exemplo, para duas variáveis, diferenciar primeiro em x e depois em y é uma sequência distinta de diferenciar primeiro em y e depois em x).
  • Contar derivadas distintas quando permutar a ordem não cria uma derivada nova (isto é, reconhecer que misturar as ordens pode dar a mesma derivada se as mistas forem iguais).
A parte (a) pede o total de derivadas parciais de ordem n sem a hipótese de continuidade (portanto a ordem das diferenciações deve ser contada). A parte (b) pede, sob a hipótese de continuidade, quantas delas podem ser distintas (ou seja, identificar as igualdades entre mistas). Na parte (c) pedem só o análogo da (a) para três variáveis (ordem das diferenciações contada).

Passo 3

Contagem para duas variáveis — caso em que a ordem das diferenciações é relevante.
Raciocínio: a cada uma das n operações de diferenciação há duas escolhas possíveis: derivar em relação a x ou em relação a y. Essas escolhas são independentes entre si. Pelo princípio do produto (contagem), o número total de sequências possíveis de n diferenciações é
2 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 2 \quad (n\\ \text{fatores}) = 2^n.
Exemplo concreto para n=2: as 4 sequências são \partial_{xx},\\ \partial_{xy},\\ \partial_{yx},\\ \partial_{yy} (ou seja, f_{xx},f_{xy},f_{yx},f_{yy}). Portanto, sem hipóteses adicionais, existem 2^n derivadas parciais de ordem n para uma função de duas variáveis.

Passo 4

Explicação da hipótese de continuidade e sua consequência sobre igualdade de mistas.
Teorema (forma intuitiva): se todas as derivadas parciais necessárias até ordem n são contínuas em um ponto (ou numa vizinhança), então a ordem de diferenciação não importa: qualquer derivada mista obtida aplicando as mesmas derivadas parciais em qualquer ordem dá o mesmo resultado. Para ordem 2 isso é comumente conhecido como teorema de Clairaut (ou Schwarz), e existe versão análoga para ordens maiores.
Consequência prática: as derivadas de ordem n são determinadas apenas por quantas vezes se derivou em cada variável, não pela ordem em que essas derivações foram feitas.

Passo 5

Contagem das derivadas distintas quando a ordem não importa — caso de duas variáveis.
Para uma derivada de ordem n em duas variáveis, basta especificar quantas vezes se derivou em x (digamos k vezes) e quantas vezes em y (serão n-k vezes). O valor k pode ser qualquer inteiro de 0 a n. Logo há exatamente n+1 possibilidades diferentes (k=0,1,2,\dots,n).
Outra maneira de ver isso é como “combinações com repetição” de um total de n diferenciações distribuídas entre 2 tipos (derivar em x ou em y). A fórmula geral \binom{n+2-1}{2-1}=\binom{n+1}{1}=n+1 dá o mesmo resultado.
Exemplo para n=2: as derivadas distintas são f_{xx},\\ f_{xy}=f_{yx},\\ f_{yy} — exatamente 3=n+1.
Portanto, se as derivadas parciais de ordem n forem contínuas, no máximo n+1 delas podem ser distintas.

Passo 6

Contagem para três variáveis — interpretação da parte (a) aplicada a 3 variáveis.
Primeiro, contando sequências onde a ordem importa: a cada uma das n diferenciações há 3 escolhas ( x,y ou z). Pelo princípio do produto o número total de sequências possíveis é
3 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 3 \quad (n\\ \text{fatores}) = 3^n.
Exemplo para n=2: as 9 sequências são \partial_{xx},\partial_{xy},\partial_{xz},\partial_{yx},\partial_{yy},\partial_{yz},\partial_{zx},\partial_{zy},\partial_{zz}.
Se fosse pedido também o número de distintas quando as mistas são contínuas, usaríamos combinações com repetição para m=3 variáveis: \binom{n+3-1}{3-1}=\binom{n+2}{2}=\dfrac{(n+2)(n+1)}{2}. (Isso é só para referência; a parte (c) pediu só o análogo da (a).)

Passo 7

Resumo curto e motivador: em provas, quando perguntarem “quantas derivadas parciais de ordem n existem”, cheque primeiro se a pergunta quer contar permutações (ordem importa) ou classes de mistas (ordem não importa). Se a hipótese de continuidade for dada, use combinações com repetição; caso contrário, use o princípio do produto (potência do número de variáveis).

Resposta

(a) 2^n
(b) n+1
(c) 3^n

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