A resistência total R produzida por três condutores com resistência R_{1}, R_{2} e R_{3} conectados em paralelo em um circuito elétrico é dada pela fórmula
\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}
Determine \partial R / \partial R_{1}.

Passo 1

O enunciado dá a relação entre a resistência total R e as resistências individuais R_{1},R_{2},R_{3}:
\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}.
O que pede: calcular a derivada parcial \displaystyle\frac{\partial R}{\partial R_{1}}, isto é, como a resistência total R varia quando apenas R_{1} muda, mantendo R_{2} e R_{3} fixas.

Passo 2

Observação sobre o método: a equação acima define R implicitamente como função de R_{1},R_{2},R_{3}. Para obter \displaystyle\frac{\partial R}{\partial R_{1}} usamos diferenciação implícita em relação a R_{1}, tratando R como função de R_{1} e lembrando que R_{2},R_{3} são constantes. Lembrete útil (regra de derivada de recíproco):
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^{2}}.
Ao aplicar a regra da cadeia, para 1/R obtemos
\frac{\partial}{\partial R_{1}}\!\left(\frac{1}{R}\right) = -\frac{1}{R^{2}}\cdot\frac{\partial R}{\partial R_{1}}.

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados da equação original em relação a R_{1}, mantendo R_{2},R_{3} constantes. Derivada do lado esquerdo:
\frac{\partial}{\partial R_{1}}\!\left(\frac{1}{R}\right) = -\frac{1}{R^{2}}\cdot\frac{\partial R}{\partial R_{1}}.
Derivada do lado direito:
\frac{\partial}{\partial R_{1}}\!\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}\right) = -\frac{1}{R_{1}^{2}} + 0 + 0 = -\frac{1}{R_{1}^{2}}.
Portanto a igualdade das derivadas dá
-\frac{1}{R^{2}}\cdot\frac{\partial R}{\partial R_{1}} = -\frac{1}{R_{1}^{2}}.

Passo 4

Isolando \displaystyle\frac{\partial R}{\partial R_{1}} na equação do Passo 3:
\frac{1}{R^{2}}\cdot\frac{\partial R}{\partial R_{1}} = \frac{1}{R_{1}^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial R}{\partial R_{1}} = \frac{R^{2}}{R_{1}^{2}}.
Também se pode escrever essa resposta apenas em termos de R_{1},R_{2},R_{3} usando R=\dfrac{1}{\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}}, o que leva à forma alternativa
\frac{\partial R}{\partial R_{1}} = \frac{1/R_{1}^{2}}{\left(\dfrac{1}{R_{1}}+\dfrac{1}{R_{2}}+\dfrac{1}{R_{3}}\right)^{2}}.
Interpretação rápida: o sinal é positivo, ou seja, aumentar R_{1} (torná-lo menos condutor) aumenta a resistência total R, o que faz sentido fisicamente.

Passo 5

Exemplo numérico para fixar a ideia: se R_{1}=10, R_{2}=20, R_{3}=30 (unidades arbitrárias), então
\frac{1}{R}=0{,}1+0{,}05+0{,}033\overline{3}=0{,}183\overline{3},
R\approx5{,}4545,\qquad \frac{\partial R}{\partial R_{1}}=\frac{R^{2}}{R_{1}^{2}}\approx\frac{5{,}4545^{2}}{10^{2}}\approx0{,}2975.
Ou seja, um pequeno aumento unitário em R_{1} eleva R em cerca de 0{,}30 nessa situação.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial R}{\partial R_{1}}=\frac{R^{2}}{R_{1}^{2}}

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