Determine se a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
(b) \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3 n}{1+8 n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3 n}{1+8 n}\right)^{n}
e pede para determinar se a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Informação importante dada:
  • O termo geral é a_n=\left(\dfrac{3n}{1+8n}\right)^n.
  • Para todo n\ge 1 temos 3n>0 e 1+8n>0, logo a_n>0.
Resposta requerida: classificar a convergência (absoluta, condicional ou divergente).

Passo 2

Lembrete sobre absoluta vs condicional (explicação didática):
  • Uma série \sum a_n converge absolutamente se a série dos valores absolutos \sum |a_n| converge.
  • Se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge, diz-se que converge condicionalmente.
  • Como aqui a_n>0 para todo n, temos |a_n|=a_n. Portanto, decidir se \sum a_n converge absolutamente é o mesmo que decidir se \sum a_n converge. Não há possibilidade de “condicional” quando todos os termos são não-negativos: ou converge absolutamente (equivalente a converge) ou diverge.

Passo 3

Escolha do teste: para termos da forma \left(\text{algo}\right)^n o teste da raiz de Cauchy (root test) é o mais natural e simples. Vou explicar o teste:
  • Teste da raiz (Cauchy): para uma série \sum a_n, define-se
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Se L<1 então a série converge absolutamente. Se L>1 então a série diverge. Se L=1 o teste é inconclusivo.
  • Aqui \sqrt[n]{|a_n|} significa a raiz enésima do módulo do termo; o \limsup é apenas uma forma segura de tratar casos em que o limite não existe, mas se o limite existir podemos usar \lim.

Passo 4

Aplicando o teste da raiz ao nosso termo:
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\left(\frac{3n}{1+8n}\right)^n}=\frac{3n}{1+8n}.
Agora calcule o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{3n}{1+8n} = \lim_{n\to\infty}\frac{3}{\tfrac{1}{n}+8} = \frac{3}{8}.
Essa simplificação foi feita dividindo numerador e denominador por n; como \tfrac{1}{n}\to 0, o quociente tende a \tfrac{3}{8}.

Passo 5

Interpretação do resultado do teste:
  • Obtivemos L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\dfrac{3}{8}.
  • Como \dfrac{3}{8}<1, pelo teste da raiz a série \sum a_n converge absolutamente.
  • Consequentemente, a série também converge (e não há convergência condicional, pois para termos positivos absoluta = usual).

Passo 6

Comentário prático (para a prova): sempre que vir uma série \sum (\text{expressão}_n)^nã, calcule \sqrt[n]{|a_n|} que normalmente simplifica para \text{expressão}_nã; então encontre o limite dessa expressão. Se o limite for menor que 1, a série converge absolutamente — isso evita cálculos pesados.

Resposta

Converge absolutamente.

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