Determine se a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Informação importante dada:
- O termo geral é
. - Para todo
temos e , logo .
Resposta requerida: classificar a convergência (absoluta, condicional ou divergente).
Passo 2
Lembrete sobre absoluta vs condicional (explicação didática):
- Uma série
converge absolutamente se a série dos valores absolutos converge. - Se
converge mas diverge, diz-se que converge condicionalmente. - Como aqui
para todo , temos . Portanto, decidir se converge absolutamente é o mesmo que decidir se converge. Não há possibilidade de “condicional” quando todos os termos são não-negativos: ou converge absolutamente (equivalente a converge) ou diverge.
Passo 3
Escolha do teste: para termos da forma
o teste da raiz de Cauchy (root test) é o mais natural e simples. Vou explicar o teste:
- Teste da raiz (Cauchy): para uma série
, define-se
Se
então a série converge absolutamente. Se
então a série diverge. Se
o teste é inconclusivo.
- Aqui
significa a raiz enésima do módulo do termo; o é apenas uma forma segura de tratar casos em que o limite não existe, mas se o limite existir podemos usar .
Passo 4
Aplicando o teste da raiz ao nosso termo:
Agora calcule o limite quando
:
Essa simplificação foi feita dividindo numerador e denominador por
; como
, o quociente tende a
.
Passo 5
Interpretação do resultado do teste:
- Obtivemos
. - Como
, pelo teste da raiz a série converge absolutamente. - Consequentemente, a série também converge (e não há convergência condicional, pois para termos positivos absoluta = usual).
Passo 6
Comentário prático (para a prova): sempre que vir uma série
, calcule
que normalmente simplifica para
; então encontre o limite dessa expressão. Se o limite for menor que 1, a série converge absolutamente — isso evita cálculos pesados.
Resposta
Converge absolutamente.