Segunda Questão (
pts): Seja
a região do plano
delimitada pelas circunferências de raios 2 e 4 centradas na origem, e seja
sua curva fronteira. Seja
o campo vetorial dado por
(a) (
ponto) Descreva com uma figura a orientação positiva ao longo de
, justificando.
(b) ( 1,5 ponto) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha de
ao longo de
.
(b) ( 1,5 ponto) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha de
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (resumo claro das informações do problema):
- Região
: é a região do plano limitada pelas circunferências centradas na origem com raios e . Ou seja, . - Curva fronteira
: é a fronteira de . Como é um anel (ou anelador) formado por duas circunferências concêntricas, consiste de duas curvas fechadas: a circunferência externa de raio e a circunferência interna de raio . - Campo vetorial
: dado por . Vou escrever e . - Perguntas:
(a) Descrever com uma figura a orientação positiva ao longo de, justificando.
(b) Usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha deao longo de , isto é .
Passo 2
Interpretação e descrição da orientação positiva (resposta da parte (a)) — ideia e figura mental.
- Regra prática para orientação positiva (orientação padrão usada no Teorema de Green): percorrer a fronteira de modo que a região
fique sempre à esquerda do percurso. Essa é a convenção de orientação positiva (ou orientação anti-horária para contornos externos). - No caso de uma região com buraco (como o anel), a fronteira
é formada por duas curvas: - A circunferência externa de raio
. Para que fique à esquerda ao percorrer essa curva, essa circunferência deve ser percorrida no sentido anti-horário (contra o sentido horário). - A circunferência interna de raio
. Para que a região entre as duas circunferências fique à esquerda ao percorrer também essa curva, é preciso percorrê-la no sentido horário (o sentido oposto ao da externa). Em outras palavras: a orientação da componente interna é reversa à da componente externa.
- A circunferência externa de raio
- Descrição da figura pedida: desenhar duas circunferências concêntricas (centro na origem), a maior com raio
e a menor com raio . Colocar uma seta ao longo da circunferência externa indicando sentido anti-horário; colocar uma seta ao longo da circunferência interna indicando sentido horário. Ao lado, anotar a justificativa: “orientação positiva = região à esquerda; por isso exterior CCW, interior CW”.
Passo 3
Enunciado do Teorema de Green e condições de uso (aula rápida e intuitiva).
- Teorema de Green (versão plana): se
é uma região do plano com fronteira composta por curvas simples e suaves e com orientação positiva, e se e têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de , então
- O que cada símbolo significa:
-
e são as componentes do campo . -
é a integral de linha ao longo da fronteira orientada positivamente. -
é a derivada parcial de em relação a . -
é a derivada parcial de em relação a . -
é o elemento de área no plano (pode ser ou, em coordenadas polares, ).
-
- Condições:
e aqui são polinômios (derivadas contínuas), e é uma região com fronteira composta por duas curvas lisas; portanto as hipóteses do teorema são satisfeitas e podemos aplicá-lo.
Passo 4
Aplicar o Teorema de Green ao nosso campo: cálculo das derivadas parciais.
- Aqui
e . - Calcular
:
- Calcular
:
- Então o integrando do lado direito do Teorema de Green é
Passo 5
Trocar para coordenadas polares e montar a integral dupla sobre
(aula sobre conversão).
- Para a região
(anel entre e ), é muito natural usar coordenadas polares: - Relação entre coordenadas:
, . - Em polares,
. - O elemento de área é
.
- Relação entre coordenadas:
- Substituindo o integrando
por e por , obtemos o integrando em polares:
- Limites de integração:
-
varia de a . -
varia de a (percorrendo todo o anel).
-
- Assim, pela fórmula do Teorema de Green,
Passo 6
Calcular explicitamente a integral dupla (contas passo a passo).
- Primeiro faça a integral interna em
:
- Calcular os potências:
-
. -
. - Logo
.
-
- Então a integral em
vale
- Agora integre em
:
Passo 7
Interpretação rápida do resultado e checagem intuitiva.
- O integrando via Green ficou proporcional a
. Faz sentido que a integral dependa da área “ponderada” por do anel, e o resultado final é um múltiplo de . - O procedimento respeitou a orientação positiva (outer CCW, inner CW), então não houve mudança de sinal adicional: o Teorema de Green já incorpora essa convenção ao formular a fronteira positivamente orientada.
Resposta
(a) A orientação positiva em
corresponde a percorrer a circunferência externa (raio
) no sentido anti-horário e a circunferência interna (raio
) no sentido horário. (Justificativa: orientação positiva = região
fica à esquerda do percurso.)
(b)