Segunda Questão ( \mathbf{2 , 0} pts): Seja D a região do plano x y delimitada pelas circunferências de raios 2 e 4 centradas na origem, e seja C sua curva fronteira. Seja \vec{F} o campo vetorial dado por
\vec{F}(x, y, z)=\left(-y^{3}, x^{3}\right)
(a) ( \mathbf{0 , 5} ponto) Descreva com uma figura a orientação positiva ao longo de C, justificando.
(b) ( 1,5 ponto) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha de \vec{F} ao longo de C.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (resumo claro das informações do problema):
  • Região D: é a região do plano x y limitada pelas circunferências centradas na origem com raios 2 e 4. Ou seja, D=\{(x,y)\mid 2\le \sqrt{x^2+y^2}\le 4\}.
  • Curva fronteira C: é a fronteira de D. Como D é um anel (ou anelador) formado por duas circunferências concêntricas, C consiste de duas curvas fechadas: a circunferência externa de raio 4 e a circunferência interna de raio 2.
  • Campo vetorial \vec{F}: dado por \vec{F}(x,y)=\bigl(-y^{3},\,x^{3}\bigr). Vou escrever P(x,y)=-y^{3} e Q(x,y)=x^{3}.
  • Perguntas:
    (a) Descrever com uma figura a orientação positiva ao longo de C, justificando.
    (b) Usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha de \vec{F} ao longo de C, isto é \displaystyle\oint_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}=\oint_{C} P\,dx+Q\,dy.

Passo 2

Interpretação e descrição da orientação positiva (resposta da parte (a)) — ideia e figura mental.
  • Regra prática para orientação positiva (orientação padrão usada no Teorema de Green): percorrer a fronteira de modo que a região D fique sempre à esquerda do percurso. Essa é a convenção de orientação positiva (ou orientação anti-horária para contornos externos).
  • No caso de uma região com buraco (como o anel), a fronteira C é formada por duas curvas:
    1. A circunferência externa de raio 4. Para que D fique à esquerda ao percorrer essa curva, essa circunferência deve ser percorrida no sentido anti-horário (contra o sentido horário).
    2. A circunferência interna de raio 2. Para que a região entre as duas circunferências fique à esquerda ao percorrer também essa curva, é preciso percorrê-la no sentido horário (o sentido oposto ao da externa). Em outras palavras: a orientação da componente interna é reversa à da componente externa.
  • Descrição da figura pedida: desenhar duas circunferências concêntricas (centro na origem), a maior com raio 4 e a menor com raio 2. Colocar uma seta ao longo da circunferência externa indicando sentido anti-horário; colocar uma seta ao longo da circunferência interna indicando sentido horário. Ao lado, anotar a justificativa: “orientação positiva = região à esquerda; por isso exterior CCW, interior CW”.

Passo 3

Enunciado do Teorema de Green e condições de uso (aula rápida e intuitiva).
  • Teorema de Green (versão plana): se D é uma região do plano com fronteira C composta por curvas simples e suaves e com orientação positiva, e se P(x,y) e Q(x,y) têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D, então
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
  • O que cada símbolo significa:
    • P(x,y) e Q(x,y) são as componentes do campo \vec{F}=(P,Q).
    • \oint_{C} P\,dx+Q\,dy é a integral de linha ao longo da fronteira C orientada positivamente.
    • \dfrac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x.
    • \dfrac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y.
    • dA é o elemento de área no plano (pode ser dx\,dy ou, em coordenadas polares, r\,dr\,d\theta).
  • Condições: P e Q aqui são polinômios (derivadas contínuas), e D é uma região com fronteira composta por duas curvas lisas; portanto as hipóteses do teorema são satisfeitas e podemos aplicá-lo.

Passo 4

Aplicar o Teorema de Green ao nosso campo: cálculo das derivadas parciais.
  • Aqui P(x,y)=-y^{3} e Q(x,y)=x^{3}.
  • Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x}:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-y^{3}\bigr)=-3y^{2}.
  • Então o integrando do lado direito do Teorema de Green é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=3x^{2}-(-3y^{2})=3x^{2}+3y^{2}=3\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).

Passo 5

Trocar para coordenadas polares e montar a integral dupla sobre D (aula sobre conversão).
  • Para a região D (anel entre r=2 e r=4), é muito natural usar coordenadas polares:
    • Relação entre coordenadas: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta.
    • Em polares, x^{2}+y^{2}=r^{2}.
    • O elemento de área é dA = r\,dr\,d\theta.
  • Substituindo o integrando 3(x^{2}+y^{2}) por 3r^{2} e dA por r\,dr\,d\theta, obtemos o integrando em polares:
3r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta = 3r^{3}\,dr\,d\theta.
  • Limites de integração:
    • r varia de 2 a 4.
    • \theta varia de 0 a 2\pi (percorrendo todo o anel).
  • Assim, pela fórmula do Teorema de Green,
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} 3\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{2}^{4} 3r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular explicitamente a integral dupla (contas passo a passo).
  • Primeiro faça a integral interna em r:
\int_{2}^{4} 3r^{3}\,dr = 3\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{r=2}^{r=4} = \frac{3}{4}\bigl(4^{4}-2^{4}\bigr).
  • Calcular os potências:
    • 4^{4}=256.
    • 2^{4}=16.
    • Logo 4^{4}-2^{4}=256-16=240.
  • Então a integral em r vale
\frac{3}{4}\cdot 240 = \frac{3\cdot 240}{4} = 3\cdot 60 = 180.
  • Agora integre em \theta:
\int_{0}^{2\pi} 180\,d\theta = 180\cdot\bigl(2\pi - 0\bigr) = 360\pi.

Passo 7

Interpretação rápida do resultado e checagem intuitiva.
  • O integrando via Green ficou proporcional a x^{2}+y^{2}=r^{2}. Faz sentido que a integral dependa da área “ponderada” por r^{2} do anel, e o resultado final é um múltiplo de \pi.
  • O procedimento respeitou a orientação positiva (outer CCW, inner CW), então não houve mudança de sinal adicional: o Teorema de Green já incorpora essa convenção ao formular a fronteira positivamente orientada.

Resposta

(a) A orientação positiva em C corresponde a percorrer a circunferência externa (raio 4) no sentido anti-horário e a circunferência interna (raio 2) no sentido horário. (Justificativa: orientação positiva = região D fica à esquerda do percurso.)
(b) \;360\pi

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