Terceira Questão ( \mathbf{1 , 5 p t s} ): Sejam S_{1} a parte do parabolóide z=x^{2}+y^{2} abaixo do plano z=4, com orientação para baixo; e S_{2} o disco de raio 4 no plano z=4, centrado em ( 0,0,4 ), com orientação para cima. Seja \vec{F} o campo vetorial dado por
\vec{F}(x, y, z)=\left(x z, y z, z^{2}\right)
Calcule o fluxo de \vec{F} através de S=S_{1} \cup S_{2}, usando o Teorema de Stokes ou o Teorema da divergência (o que for apropriado).
Passo 1
O enunciado dá:
S_{1} é a parte do parabolóide z=x^{2}+y^{2} abaixo do plano z=4, com orientação para baixo.
S_{2} é o disco de raio 4 no plano z=4, centrado em (0,0,4), com orientação para cima.
O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=\left(xz,\;yz,\;z^{2}\right).
O que se pede:
Calcular o fluxo de \vec{F} através da superfície S=S_{1}\cup S_{2}.
Passo 2
Identificar a estratégia: as duas superfícies S_{1} e S_{2} juntas formam uma superfície fechada que envolve o volume V entre o parabolóide z=x^{2}+y^{2} (embaixo) e o plano z=4 (embaixo do disco). Para aplicar o Teorema da divergência (Gauss) precisamos que as orientações das superfícies coincidam com a orientação “para fora” do volume. Aqui:
Em S_{2} (disco no topo) a orientação é para cima; isso é a normal apontando para fora do volume (para cima).
Em S_{1} (parabolóide abaixo) a orientação é para baixo; isso também aponta para fora do volume (para baixo/externo).
Portanto as orientações dadas coincidem com a orientação exterior necessária pelo Teorema da divergência, então esse teorema é apropriado.
Vou lembrar o enunciado do Teorema da divergência: para uma região sólida V com fronteira orientada externamente \partial V,
\dfrac{\partial}{\partial x}(xz)=z porque z é tratado como constante em derivação em relação a x.
\dfrac{\partial}{\partial y}(yz)=z.
\dfrac{\partial}{\partial z}(z^{2})=2z.
Somando,
\operatorname{div}\vec{F}=z+z+2z=4z.
Passo 4
Montar a integral tripla \iiint_{V}4z\,dV. É conveniente usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) porque a região é de revolução em torno do eixo z. Recordando a mudança para coordenadas cilíndricas: