Terceira Questão ( \mathbf{1 , 5 p t s} ): Sejam S_{1} a parte do parabolóide z=x^{2}+y^{2} abaixo do plano z=4, com orientação para baixo; e S_{2} o disco de raio 4 no plano z=4, centrado em ( 0,0,4 ), com orientação para cima. Seja \vec{F} o campo vetorial dado por
\vec{F}(x, y, z)=\left(x z, y z, z^{2}\right)
Calcule o fluxo de \vec{F} através de S=S_{1} \cup S_{2}, usando o Teorema de Stokes ou o Teorema da divergência (o que for apropriado).

Passo 1

O enunciado dá:
  • S_{1} é a parte do parabolóide z=x^{2}+y^{2} abaixo do plano z=4, com orientação para baixo.
  • S_{2} é o disco de raio 4 no plano z=4, centrado em (0,0,4), com orientação para cima.
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=\left(xz,\;yz,\;z^{2}\right).
    O que se pede:
  • Calcular o fluxo de \vec{F} através da superfície S=S_{1}\cup S_{2}.

Passo 2

Identificar a estratégia: as duas superfícies S_{1} e S_{2} juntas formam uma superfície fechada que envolve o volume V entre o parabolóide z=x^{2}+y^{2} (embaixo) e o plano z=4 (embaixo do disco). Para aplicar o Teorema da divergência (Gauss) precisamos que as orientações das superfícies coincidam com a orientação “para fora” do volume. Aqui:
  • Em S_{2} (disco no topo) a orientação é para cima; isso é a normal apontando para fora do volume (para cima).
  • Em S_{1} (parabolóide abaixo) a orientação é para baixo; isso também aponta para fora do volume (para baixo/externo).
    Portanto as orientações dadas coincidem com a orientação exterior necessária pelo Teorema da divergência, então esse teorema é apropriado.
Vou lembrar o enunciado do Teorema da divergência: para uma região sólida V com fronteira orientada externamente \partial V,
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV.
Aqui \partial V=S=S_{1}\cup S_{2}.

Passo 3

Calcular a divergência de \vec{F}. Por definição,
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(xz)+\frac{\partial}{\partial y}(yz)+\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}).
Vamos derivar termo a termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(xz)=z porque z é tratado como constante em derivação em relação a x.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(yz)=z.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}(z^{2})=2z.
    Somando,
\operatorname{div}\vec{F}=z+z+2z=4z.

Passo 4

Montar a integral tripla \iiint_{V}4z\,dV. É conveniente usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) porque a região é de revolução em torno do eixo z. Recordando a mudança para coordenadas cilíndricas:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dV=r\,dz\,dr\,d\theta,
onde r\ge0, \theta\in[0,2\pi), e z varia entre as superfícies inferior e superior.
No nosso volume V temos, para cada (r,\theta):
  • a superfície inferior: z=r^{2} (parabolóide),
  • a superfície superior: z=4 (plano).
    A interseção entre z=r^{2} e z=4 r^{2}=4\Rightarrow r=2. Portanto os limites são:
\theta\in[0,2\pi],\quad r\in[0,2],\quad z\in[r^{2},\,4].
A integral fica então
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}4z\,dV =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{r^{2}}^{4}4z\,(r\,dz)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna (em z):
\int_{r^{2}}^{4}4z\,(r)\,dz=4r\int_{r^{2}}^{4}z\,dz =4r\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{z=r^{2}}^{z=4} =4r\cdot\frac{1}{2}\left(4^{2}-(r^{2})^{2}\right).
Simplificando:
4r\cdot\frac{1}{2}\left(16-r^{4}\right)=2r\left(16-r^{4}\right)=32r-2r^{5}.

Passo 6

Agora integrar em r e \theta:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{2}\bigl(32r-2r^{5}\bigr)\,dr\right)d\theta.
Calcule a integral em r:
\int_{0}^{2}32r\,dr=32\cdot\frac{r^{2}}{2}\Big|_{0}^{2}=16\cdot 4=64,
\int_{0}^{2}2r^{5}\,dr=2\cdot\frac{r^{6}}{6}\Big|_{0}^{2}=\frac{1}{3}\cdot 2^{6}=\frac{64}{3}.
Portanto a integral em r vale
64-\frac{64}{3}=\frac{128}{3}.
Agora integrar em \theta (multiplicando por 2\pi):
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \int_{0}^{2\pi}\frac{128}{3}\,d\theta =2\pi\cdot\frac{128}{3}.

Resposta

\dfrac{256\pi}{3}

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