Determine se a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
(d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n^{50}}
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n^{50}}
como sendo (i) convergente absolutamente, (ii) convergente condicionalmente ou (iii) divergente.
Informações dadas:
O termo geral é \dfrac{\cos n}{n^{50}}.
Não há outras restrições; a sequência \{\cos n\} é uma sequência real limitada por -1 e 1.
Passo 2
Definições e conceitos que vamos usar (explicados devagar):
Uma série \sum a_n converge absolutamente se a série dos valores absolutos \sum |a_n| converge. Isso é forte: absoluta implica convergente (ou seja, se \sum |a_n| converge então \sum a_n também converge).
Uma série converge condicionalmente se \sum a_n converge, mas \sum |a_n| diverge.
Para testar convergência de séries com termos positivos (ou não negativos) usaremos o teste da comparação: se 0\le a_n\le b_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
Um fato padrão (série p ou p-series): a série\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}converge se, e somente se, p>1. Aqui o parâmetro p é um número real que indica a potência no denominador; para p=50 temos convergência porque 50>1.
Passo 3
Escolha do método: vamos mostrar primeiro que a série dos valores absolutos
converge, usando comparação com a p-série \sum 1/n^{50}. Isso é natural porque \cos n é limitado em módulo por 1, então os termos absolutos ficam menores que 1/n^{50}, e a p-série com p=50 é convergente.
Passo 4
Aplicação da desigualdade e do teste de comparação:
Sabemos que para todo n vale |\cos n|\le 1. Logo, para todo n,0 \le \left|\frac{\cos n}{n^{50}}\right| = \frac{|\cos n|}{n^{50}} \le \frac{1}{n^{50}}.
A série de comparação é a p-série\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{50}},e como 50>1, essa p-série converge (teorema da p-série).
Pelo teste da comparação, como 0\le \dfrac{|\cos n|}{n^{50}}\le \dfrac{1}{n^{50}} e \sum 1/n^{50} converge, segue que\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{\cos n}{n^{50}}\right|também converge.
Passo 5
Conclusão sobre a série original:
Como \sum_{n=1}^{\infty} \left|\dfrac{\cos n}{n^{50}}\right| converge, a série original \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\cos n}{n^{50}} converge absolutamente.
Lembrete prático: quando a série dos valores absolutos converge, não precisamos de mais testes — a série original já é convergente (de modo ainda mais forte: absolutamente convergente).
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar:
Exemplo de série que converge absolutamente: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^{2}}. Aqui \sum 1/n^{2} converge (p=2>1), logo a original converge absolutamente.
Exemplo de série que converge condicionalmente: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}. Aqui \sum 1/n diverge (p=1), mas a série alternada converge (teste de Leibniz), logo é condicional.