Determine se a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série que começa no n=2 e vai até o infinito:
. O objetivo é descobrir se essa série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta da matemática que ajuda a determinar a convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Integral. Ele diz que se temos uma série
onde
é positivo, decrescente e contínuo para
, então a série converge se e somente se a integral
converge.
Passo 3
No nosso caso,
. Vamos verificar se essa função é positiva, decrescente e contínua para
. Claramente,
para
, e como o denominador aumenta conforme
aumenta,
é decrescente. Além disso, a função é contínua para
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teste da Integral. Precisamos calcular a integral
. Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição para simplificar.
Passo 5
Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
. Isso simplifica nossa integral para
.
Passo 6
Agora, a integral ficou
, que é igual a
, onde
é a constante de integração. Voltando para
, isso significa que a integral original é igual a
.
Passo 7
Vamos avaliar o limite dessa expressão quando
tende ao infinito:
Isso significa que a integral
diverge para o infinito.
Resposta
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série
também diverge.