Determine se a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
sumn=2^infty 1n raizln n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série que começa no n=2 e vai até o infinito: sumn=2^infty 1n raizln n. O objetivo é descobrir se essa série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta da matemática que ajuda a determinar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Integral. Ele diz que se temos uma série sum an onde an é positivo, decrescente e contínuo para n >= N, então a série converge se e somente se a integral integralN^infty a(x) dx converge.

Passo 3

No nosso caso, an = 1n raizln n. Vamos verificar se essa função é positiva, decrescente e contínua para n >= 2. Claramente, an > 0 para n > 1, e como o denominador aumenta conforme n aumenta, an é decrescente. Além disso, a função é contínua para n > 1.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste da Integral. Precisamos calcular a integral integral2^infty 1x raizln x dx. Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição para simplificar.

Passo 5

Vamos deixar u = ln x. Então, a derivada de u em relação a x é du = 1x dx, ou seja, dx = x du. Isso simplifica nossa integral para integral 1x raizu cdot x du = integral 1raizu du.

Passo 6

Agora, a integral ficou integral 1raizu du, que é igual a 2 raizu + C, onde C é a constante de integração. Voltando para x, isso significa que a integral original é igual a 2 raizln x.

Passo 7

Vamos avaliar o limite dessa expressão quando x tende ao infinito:
limx to infty 2 raizln x = infty
Isso significa que a integral integral2^infty 1x raizln x dx diverge para o infinito.

Resposta

Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série sumn=2^infty 1n raizln n também diverge.

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