Determine se a Serie Converge an náo e diga qual \sum_{n \geqslant 0} \frac{1}{2 n+1}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n\ge 0} \frac{1}{2n+1}
converge ou diverge. As informações dadas são apenas o termo geral da série: para cada inteiro n\ge 0 o termo é a_n=\dfrac{1}{2n+1}. A pergunta é única: decidir convergência (converge para um número finito) ou divergência (os somatórios parciais tendem a +\infty ou não têm limite finito).
Passo 2
Definição útil (muito importante na prova): uma série \sum_{n\ge0} a_n converge se a sequência das somas parciais
S_N=\sum_{n=0}^{N} a_n
tiver um limite finito quando N\to\infty. Uma condição necessária (mas não suficiente) para que a série converja é que os termos vão para zero:
\text{se } \sum_{n\ge0} a_n \text{ converge, então } a_n\to 0.
Aqui o termo geral é a_n=\dfrac{1}{2n+1}. Vamos checar essa condição primeiro.
Portanto a condição necessária é satisfeita — isto não prova convergência, só garante que não podemos eliminar a série por ter termos não nulos no limite. Precisamos de um teste mais forte.
Passo 4
Escolha do método: aqui é natural usar comparação com a série harmônica
\sum_{k\ge 1}\frac{1}{k},
pois os termos \dfrac{1}{2n+1} são reciprocais de números inteiros (os ímpares). A série harmônica é um fato clássico: ela diverge. Vou primeiro recordar uma prova simples da divergência da série harmônica (essa prova é frequentemente usada em provas de concurso/prova): agrupar termos em blocos de tamanho em potência de 2.
Prova da divergência da série harmônica por agrupamento:
Em cada bloco as frações são maiores ou iguais ao inverso do maior denominador do bloco. Por exemplo, \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\ge 2\cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}, e \dfrac{1}{5}+\cdots+\dfrac{1}{8}\ge 4\cdot \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}, e assim por diante.
Fazendo m\to\infty obtemos que as somas parciais da harmônica crescem sem limite, logo
\sum_{k\ge 1}\frac{1}{k} = +\infty.
Passo 5
Voltemos à série dos ímpares \sum_{n\ge0}\dfrac{1}{2n+1}. Vamos comparar termo a termo com a harmônica de forma que possamos usar a divergência já estabelecida.
O lado direito é metade da soma harmônica até N+1. Como a série harmônica diverge (Passo 4), a sequência das somas parciais \sum_{k=1}^{N+1}\dfrac{1}{k} tende a +\infty quando N\to\infty. Logo o lado esquerdo também tende a +\infty. Em outras palavras,
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2n+1} = +\infty.
Portanto a série dos recíprocos dos números ímpares diverge.
Passo 6
Interpretação final: a série não converge para um número finito; suas somas parciais crescem sem limite (divergem para +\infty). Isso acontece porque os termos são comparáveis, a constante 1/2 multiplicando a harmônica mostra que a soma dos ímpares herda a divergência da harmônica.