Uma função f: X \rightarrow \mathbf{R} é contínua no ponto a \in X quando, para todo \epsilon>0 dado, existe \delta>0 tal que x \in X e |x-a|<\delta impliquem |f(x)-f(a)|<\epsilon. Prove que:
(b) Se f: X \rightarrow \mathbf{R} é contínua no ponto a \in X, então f é limitada numa vizinhança de a.

Passo 1

O enunciado dá que f: X \to \mathbf{R} é contínua no ponto a\in X. Pede-se para provar que f é limitada numa vizinhança de a.
Informações relevantes que temos:
  • A definição de continuidade em a: para todo \epsilon>0 existe \delta>0 tal que, se x\in X e |x-a|<\delta, então |f(x)-f(a)|<\epsilon.
  • Queremos mostrar que existe uma vizinhança de a (isto é, um conjunto do tipo \{x\in X:|x-a|<\delta\}) em que f é limitada: existe M>0 tal que |f(x)|\le M para todo x nessa vizinhança.

Passo 2

Vamos usar diretamente a definição de continuidade escolhendo um valor concreto para \epsilon. Uma escolha simples e conveniente é \epsilon=1. Pelo fato de f ser contínua em a, existe \delta>0 tal que
\text{se }x\in X\text{ e }|x-a|<\delta\text{ então }|f(x)-f(a)|<1.ã

Passo 3

Agora manipulemos a desigualdade envolvendo valores de f. Usamos a desigualdade triangular, que diz que para quaisquer números reais u e v vale
|u+v|\le |u|+|v|.
Aplique essa desigualdade com u=f(x)-f(a) e v=f(a). Obtemos
|f(x)| = |(f(x)-f(a)) + f(a)| \le |f(x)-f(a)| + |f(a)|.

Passo 4

Para x na vizinhança \{x\in X:|x-a|<\delta\} já sabemos que |f(x)-f(a)|<1. Substituindo na desigualdade do passo anterior obtemos
|f(x)| < 1 + |f(a)|.
Logo, tomando
M := 1 + |f(a)|,
temos |f(x)| \le M (na verdade estritamente <M) para todo x\in X com |x-a|<\delta.

Passo 5

Concluímos que existe \delta>0 (fornecido pela continuidade com \epsilon=1) e M=1+|f(a)| tais que |f(x)|\le M para todo x\in X com |x-a|<\delta. Isso significa que f é limitada na vizinhança \{x\in X:|x-a|<\delta\} de a.

Resposta

Existe \delta>0 tal que |f(x)|\le 1+|f(a)| para todo x\in X com |x-a|<\delta; portanto f é limitada numa vizinhança de a.

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