Uma função
é contínua no ponto
quando, para todo
dado, existe
tal que
e
impliquem
. Prove que:
(b) Se
é contínua no ponto
, então
é limitada numa vizinhança de
.
(b) Se
Passo 1
O enunciado dá que
é contínua no ponto
. Pede-se para provar que
é limitada numa vizinhança de
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A definição de continuidade em
: para todo existe tal que, se e , então . - Queremos mostrar que existe uma vizinhança de
(isto é, um conjunto do tipo ) em que é limitada: existe tal que para todo nessa vizinhança.
Passo 2
Vamos usar diretamente a definição de continuidade escolhendo um valor concreto para
. Uma escolha simples e conveniente é
. Pelo fato de
ser contínua em
, existe
tal que
Passo 3
Agora manipulemos a desigualdade envolvendo valores de
. Usamos a desigualdade triangular, que diz que para quaisquer números reais
e
vale
Aplique essa desigualdade com
e
. Obtemos
Passo 4
Para
na vizinhança
já sabemos que
. Substituindo na desigualdade do passo anterior obtemos
Logo, tomando
temos
(na verdade estritamente
) para todo
com
.
Passo 5
Concluímos que existe
(fornecido pela continuidade com
) e
tais que
para todo
com
. Isso significa que
é limitada na vizinhança
de
.
Resposta
Existe
tal que
para todo
com
; portanto
é limitada numa vizinhança de
.