Agora identifiquemos os parâmetros de uma série geométrica no padrão \sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1}:
Primeiro termo a=\dfrac{1}{25}.
Razão r=\dfrac{-2}{5}.
Vou lembrar rapidamente a fórmula prática (e mostrar por que vale): a soma parcial dos N primeiros termos de uma série geométrica é
S_N = a + ar + ar^2+\cdots+ar^{N-1}=a\frac{1-r^{N}}{1-r}\qquad(r\neq 1).
Isso se obtém multiplicando S_N por r e subtraindo: S_N-rS_N=a-ar^{N}\Rightarrow S_N=a(1-r^{N})/(1-r). Se |r|<1, então r^{N}\to 0 quando N\to\infty, e portanto a soma infinita converge para
Resumo final: a série converge porque é geométrica com razão \left|\dfrac{-2}{5}\right|<1, e sua soma é \dfrac{1}{35}. Força aí — é só aplicar a fórmula da geométrica!