Determine se a série (1) converge e, em caso afirmativo, exiba a soma da série.
[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2){n-1}}{5{n+1}}
]

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n-1}}{5^{n+1}}
converge e, se convergir, exibir a soma. Informações dadas:
  • A expressão geral do termo é \dfrac{(-2)^{n-1}}{5^{n+1}}.
  • Perguntas a responder:
    1. A série converge?
    2. Se sim, qual é a soma da série?

Passo 2

Vamos tentar identificar a forma do termo para ver se a série é geométrica. Reescrevo o denominador agrupando potências de 5:
5^{n+1}=5^{n-1}\cdot5^{2}=25\cdot 5^{n-1}.
Substituindo isso no termo geral,
\frac{(-2)^{n-1}}{5^{n+1}} = \frac{(-2)^{n-1}}{25\cdot 5^{n-1}} = \frac{1}{25}\left(\frac{-2}{5}\right)^{n-1}.
Logo a série pode ser escrita como
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{25}\left(\frac{-2}{5}\right)^{n-1}.

Passo 3

Agora identifiquemos os parâmetros de uma série geométrica no padrão \sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1}:
  • Primeiro termo a=\dfrac{1}{25}.
  • Razão r=\dfrac{-2}{5}.
Vou lembrar rapidamente a fórmula prática (e mostrar por que vale): a soma parcial dos N primeiros termos de uma série geométrica é
S_N = a + ar + ar^2+\cdots+ar^{N-1}=a\frac{1-r^{N}}{1-r}\qquad(r\neq 1).
Isso se obtém multiplicando S_N por r e subtraindo: S_N-rS_N=a-ar^{N}\Rightarrow S_N=a(1-r^{N})/(1-r). Se |r|<1, então r^{N}\to 0 quando N\to\infty, e portanto a soma infinita converge para
S=\frac{a}{1-r}.

Passo 4

Verificamos a condição de convergência |r|<1:
\left|r\right|=\left|\frac{-2}{5}\right|=\frac{2}{5}<1.
Portanto a série converge (porque é uma série geométrica com razão de módulo menor que 1).

Passo 5

Calculemos a soma usando S=\dfrac{a}{1-r} com a=\dfrac{1}{25} e r=-\dfrac{2}{5}.
Primeiro calcule 1-r:
1-r=1-\left(-\frac{2}{5}\right)=1+\frac{2}{5}=\frac{5+2}{5}=\frac{7}{5}.
Agora a soma:
S=\frac{a}{1-r}=\frac{\dfrac{1}{25}}{\dfrac{7}{5}} =\frac{1}{25}\cdot\frac{5}{7} =\frac{5}{175} =\frac{1}{35}.

Passo 6

Resumo final: a série converge porque é geométrica com razão \left|\dfrac{-2}{5}\right|<1, e sua soma é \dfrac{1}{35}. Força aí — é só aplicar a fórmula da geométrica!

Resposta

Converge.
Soma: \dfrac{1}{35}

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