Sabendo que \int \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\arctan (x)+C, obtenha uma representação em série de potências para a função \arctan \left(x^{2}\right). Determine também o raio R de convergência e o intervalo aberto de convergência.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • Obter uma representação em série de potências para \arctan\!\bigl(x^{2}\bigr).
  • Determinar o raio de convergência R dessa série.
  • Indicar o intervalo aberto de convergência.
Informações dadas que vamos usar:
  • Está dado que \displaystyle \int \frac{1}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x=\arctan(x)+C.
  • Podemos usar expansões em série e propriedades de integrar séries de potências termo a termo (válidas dentro do raio de convergência).

Passo 2

Vamos construir a série derivando a função e integrando uma expansão simples. Defina
f(x)=\arctan\!\bigl(x^{2}\bigr).
A derivada de f é, aplicando regra da cadeia,
f'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan\!\bigl(x^{2}\bigr) = \frac{1}{1+(x^{2})^{2}}\cdot 2x = \frac{2x}{1+x^{4}}.
Explicando passo a passo: a derivada de \arctan(u) em relação a u é \dfrac{1}{1+u^{2}}; aqui u=x^{2}, então multiplica-se por \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{2}=2x.

Passo 3

Agora expandimos a parte racional \dfrac{1}{1+x^{4}} como série geométrica. Lembre que a série geométrica
\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty} t^{n}
é válida para |t|<1. Substituindo t=-x^{4} obtemos
\frac{1}{1+x^{4}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{4n}, \qquad\text{para }|x^{4}|<1\\ (\text{ou seja }|x|<1).
Portanto
f'(x)=\frac{2x}{1+x^{4}}=2x\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{4n} =2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{4n+1},
válido para |x|<1. Aqui multiplicamos 2x por cada termo da série geométrica.

Passo 4

Integramos termo a termo para recuperar f(x)=\arctan(x^{2}). Usamos a constante de integração escolhida convenientemente integrando de 0 a x:
\arctan\!\bigl(x^{2}\bigr)-\arctan(0) =\int_{0}^{x} f'(t)\,\mathrm{d}t =2\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{4n+1}\,\mathrm{d}t.
Como a série converge uniformemente em todo compacto dentro de |t|<1, podemos integrar termo a termo:
\arctan\!\bigl(x^{2}\bigr) =2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\int_{0}^{x} t^{4n+1}\,\mathrm{d}t =2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n+2}}{4n+2}.
Simplificando o prefator 2/(4n+2):
\frac{2}{4n+2}=\frac{1}{2n+1},
logo chegamos à série de potências final:
\arctan\!\bigl(x^{2}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n+2}}{2n+1}, \qquad\text{para }|x|<1.

Passo 5

Agora determinamos o raio de convergência R. Considere o termo geral
a_{n}(x)=(-1)^{n}\frac{x^{4n+2}}{2n+1}.
Aplicando a raiz n-ésima (ou observando que o comportamento principal vem de x^{4n}) temos
\bigl|a_{n}(x)\bigr|^{1/n} =\frac{|x|^{(4n+2)/n}}{(2n+1)^{1/n}} \longrightarrow |x|^{4}\quad\text{quando }n\to\infty,
pois (4n+2)/n\to 4 e (2n+1)^{1/n}\to 1. A condição de convergência pela raiz é |x|^{4}<1, ou seja |x|<1. Portanto o raio de convergência é
R=1.

Passo 6

Intervalo aberto de convergência: como R=1, a convergência absoluta ocorre para -1<x<1. O enunciado pediu explicitamente o intervalo aberto de convergência, que é
(-1,1).
Só para completar a informação (não pedida como resposta final, mas útil): nos extremos x=1 e x=-1 a série reduz-se a
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{2n+1},
que é a série alternada que converge (condicionalmente) ao valor \pi/4. Portanto a série converge também em x=\pm1, mas o pedido foi o intervalo aberto, isto é (-1,1).

Resposta

\displaystyle \arctan\!\bigl(x^{2}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n+2}}{2n+1}\newline
R=1\newline
Intervalo aberto de convergência: (-1,1)

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