Sabendo que \int \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\arctan (x)+C, obtenha uma representação em série de potências para a função \arctan \left(x^{2}\right). Determine também o raio R de convergência e o intervalo aberto de convergência.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
Obter uma representação em série de potências para \arctan\!\bigl(x^{2}\bigr).
Determinar o raio de convergência R dessa série.
Indicar o intervalo aberto de convergência.
Informações dadas que vamos usar:
Está dado que \displaystyle \int \frac{1}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x=\arctan(x)+C.
Podemos usar expansões em série e propriedades de integrar séries de potências termo a termo (válidas dentro do raio de convergência).
Passo 2
Vamos construir a série derivando a função e integrando uma expansão simples. Defina
Explicando passo a passo: a derivada de \arctan(u) em relação a u é \dfrac{1}{1+u^{2}}; aqui u=x^{2}, então multiplica-se por \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{2}=2x.
Passo 3
Agora expandimos a parte racional \dfrac{1}{1+x^{4}} como série geométrica. Lembre que a série geométrica
\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty} t^{n}
é válida para |t|<1. Substituindo t=-x^{4} obtemos
\frac{1}{1+x^{4}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{4n}, \qquad\text{para }|x^{4}|<1\\ (\text{ou seja }|x|<1).
pois (4n+2)/n\to 4 e (2n+1)^{1/n}\to 1. A condição de convergência pela raiz é |x|^{4}<1, ou seja |x|<1. Portanto o raio de convergência é
R=1.
Passo 6
Intervalo aberto de convergência: como R=1, a convergência absoluta ocorre para -1<x<1. O enunciado pediu explicitamente o intervalo aberto de convergência, que é
(-1,1).
Só para completar a informação (não pedida como resposta final, mas útil): nos extremos x=1 e x=-1 a série reduz-se a
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{2n+1},
que é a série alternada que converge (condicionalmente) ao valor \pi/4. Portanto a série converge também em x=\pm1, mas o pedido foi o intervalo aberto, isto é (-1,1).
Resposta
\displaystyle \arctan\!\bigl(x^{2}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n+2}}{2n+1}\newline R=1\newline
Intervalo aberto de convergência: (-1,1)