Verifique, em cada item, que as funções y1 e y2 são soluções linearmente independentes da EDO dada.
x^2 y^prime prime+x y^prime-4 y=0 y1(x)=x^2, y2(x)=x^-2, x>0

Passo 1

O enunciado pede para verificar que, para a EDO de segunda ordem
x^2y'' + x y' - 4y = 0,
as funções
y1(x)=x^2, y2(x)=x^-2, x>0
são soluções e ainda provar que são linearmente independentes. Vamos usar derivadas de potências e o conceito de Wronskiano.

Passo 2

Primeiro verificamos que y1(x)=x^2 satisfaz a equação. Calculamos as derivadas:
y1'(x)=2x, y1''(x)=2
Substituindo na EDO:
LHS = x^2cdot 2 + xcdot(2x) - 4cdot x^2 = 2x^2 + 2x^2 - 4x^2 = 0
Como o lado esquerdo é zero, y1 é solução.

Passo 3

Agora verificamos que y2(x)=x^-2 é solução. Calculamos as derivadas:
y2'(x) = -2x^-3, y2''(x) = 6x^-4
Substituindo na EDO:
LHS = x^2cdot(6x^-4) + xcdot(-2x^-3) - 4cdot x^-2 = 6x^-2 - 2x^-2 - 4x^-2 = 0
Portanto, y2 também satisfaz a EDO.

Passo 4

Para mostrar que y1 e y2 são linearmente independentes, calculamos o Wronskiano:
W(y1,y2)(x) = y1 & y2 y1' & y2' = y1(x),y2'(x) - y2(x),y1'(x)
Substituindo:
W = x^2cdot(-2x^-3) - x^-2cdot(2x) = -2x^-1 - 2x^-1 = -4x
Como x>0, temos W neq 0, o que garante independência linear.

Passo 5

Concluímos que y1(x)=x^2 e y2(x)=x^-2 são duas soluções da EDO e, pelo Wronskiano não nulo, são linearmente independentes.

Resposta

As funções são ambas soluções da EDO e seu Wronskiano W(y1,y2)(x)=-4/x neq 0 em x>0, logo são linearmente independentes.

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