Verifique, em cada item, que as funções
e
são soluções linearmente independentes da EDO dada.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que, para a EDO de segunda ordem
as funções
são soluções e ainda provar que são linearmente independentes. Vamos usar derivadas de potências e o conceito de Wronskiano.
Passo 2
Primeiro verificamos que
satisfaz a equação. Calculamos as derivadas:
Substituindo na EDO:
Como o lado esquerdo é zero,
é solução.
Passo 3
Agora verificamos que
é solução. Calculamos as derivadas:
Substituindo na EDO:
Portanto,
também satisfaz a EDO.
Passo 4
Para mostrar que
e
são linearmente independentes, calculamos o Wronskiano:
Substituindo:
Como
x>0 , temos
W neq 0 , o que garante independência linear.
Passo 5
Concluímos que
y1(x)=x^2 e
y2(x)=x^-2 são duas soluções da EDO e, pelo Wronskiano não nulo, são linearmente independentes.
Resposta
As funções são ambas soluções da EDO e seu Wronskiano
W(y1,y2)(x)=-4/x neq 0 em
x>0 , logo são linearmente independentes.