Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
a) \sum_{k=1}^{\infty}\left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a série
\sum_{k=1}^{\infty}\left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1}.
Perguntas solicitadas:
  • A série converge ou diverge?
  • Se convergir, qual é a soma?
Informações relevantes fornecidas (extraídas diretamente do enunciado):
  • O termo geral da série é \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} para k=1,2,3,\dots.
  • A soma é uma soma infinita, do primeiro termo até o infinito.

Passo 2

Reconhecer o tipo de série: esta é uma série geométrica infinita. Vou explicar o que é isso.
Definição (intuitiva e prática):
  • Uma série geométrica infinita tem a forma
\sum_{k=1}^{\infty} a\,r^{\,k-1},
onde a é o primeiro termo (quando k=1) e r é a razão comum (cada termo é obtido multiplicando o anterior por r).
Exemplo curto para fixar a ideia: a série
\sum_{k=1}^{\infty} 2\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}
tem a=2 e r=\tfrac{1}{3}. Aqui cada termo é 1/3 do anterior.

Passo 3

Fórmula para a soma parcial e derivação (muito útil para a prova):
Seja
S_n=\sum_{k=1}^{n} a\,r^{\,k-1}=a + ar + ar^2+\cdots+ar^{n-1}.
Multiplicando ambos os lados por r obtemos
rS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n}.
Agora subtrai-se as duas igualdades:
S_n - rS_n = a - ar^{n} \quad\Rightarrow\quad S_n(1-r)=a(1-r^{n}).
Isolando S_n:
S_n = \frac{a(1-r^{n})}{1-r},\qquad\text{para } r\neq 1.
Interpretando: S_n é a soma dos primeiros n termos. Para passar à soma infinita, examinamos o limite quando n\to\infty.

Passo 4

Condição de convergência da série geométrica infinita:
  • Se |r|<1, então r^{n}\to 0 quando n\to\infty. Nesse caso
\sum_{k=1}^{\infty} a\,r^{\,k-1}=\lim_{n\to\infty} S_n=\frac{a}{1-r}.
  • Se |r|\ge 1, a série diverge (os termos não tendem a zero ou as somas parciais não têm limite).
Explicação rápida por que r^n\to 0 quando |r|<1: potências sucessivas de um número com módulo menor que 1 vão ficando cada vez menores (por exemplo, (\tfrac{1}{2})^n vai para 0).

Passo 5

Aplicar ao nosso caso: identificar a e r.
Da série dada \sum_{k=1}^{\infty}\left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} segue que
  • a=\left(-\dfrac{3}{4}\right)^{0}=1 (o primeiro termo é 1),
  • r=-\dfrac{3}{4} (cada termo é obtido multiplicando o anterior por -\tfrac{3}{4}).
Calcular |r|:
|r|=\left|-\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}.
Como |r|=\tfrac{3}{4}<1, a condição de convergência é satisfeita: a série converge.

Passo 6

Calcular a soma usando a fórmula:
\sum_{k=1}^{\infty} a\,r^{\,k-1}=\frac{a}{1-r}.
Substituindo a=1 e r=-\dfrac{3}{4}:
\sum_{k=1}^{\infty}\left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} = \frac{1}{1-(-\tfrac{3}{4})} = \frac{1}{1+\tfrac{3}{4}}.
Calculemos 1+\tfrac{3}{4}:
1+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}.
Então a soma é o recíproco:
\frac{1}{\tfrac{7}{4}}=\frac{4}{7}.

Passo 7

Verificação numérica rápida (para intuição): primeiros termos e somas parciais:
  • Termos: 1,\\\ -\tfrac{3}{4},\\ \tfrac{9}{16},\\\ -\tfrac{27}{64},\\ \dots
  • Sombras parciais: S_1=1, S_2=\tfrac{1}{4}=0{,}25, S_3=\tfrac{13}{16}=0{,}8125, S_4=\tfrac{25}{64}\approx0{,}3906, S_5\approx0{,}7070, …
    Essas somas oscilam em torno de \tfrac{4}{7}\approx0{,}571428\ldots e vão se aproximando dela — comportamento típico de séries geométricas com razão negativa.

Resposta

A série converge e sua soma é \dfrac{4}{7}.

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