Se |r|\ge 1, a série diverge (os termos não tendem a zero ou as somas parciais não têm limite).
Explicação rápida por que r^n\to 0 quando |r|<1: potências sucessivas de um número com módulo menor que 1 vão ficando cada vez menores (por exemplo, (\tfrac{1}{2})^n vai para 0).
Passo 5
Aplicar ao nosso caso: identificar a e r.
Da série dada \sum_{k=1}^{\infty}\left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} segue que
a=\left(-\dfrac{3}{4}\right)^{0}=1 (o primeiro termo é 1),
r=-\dfrac{3}{4} (cada termo é obtido multiplicando o anterior por -\tfrac{3}{4}).
Calcular |r|:
|r|=\left|-\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}.
Como |r|=\tfrac{3}{4}<1, a condição de convergência é satisfeita: a série converge.
Sombras parciais: S_1=1, S_2=\tfrac{1}{4}=0{,}25, S_3=\tfrac{13}{16}=0{,}8125, S_4=\tfrac{25}{64}\approx0{,}3906, S_5\approx0{,}7070, …
Essas somas oscilam em torno de \tfrac{4}{7}\approx0{,}571428\ldots e vão se aproximando dela — comportamento típico de séries geométricas com razão negativa.