A incógnita X é o vetor coluna X=(x_1,x_2,x_3)^T.
O que se pede: encontrar a solução geral X(t) para todo t.]
Passo 2
(Encontrar autovalores de A.) Para obter a solução geral de um sistema linear autônomo X'=AX usamos autovalores/auto-vetores de A. Calcula-se o polinômio característico \det(A-\lambda I). Montando A-\lambda I:
(-i)x - y + 2z = 0,\qquad -x - i y =0,\qquad -x - i z =0.
Das duas últimas vem x=-i y e x=-i z, portanto y=z. Tomando y=z=1 obtém-se x=-i e verifica-se que a primeira equação fica (-i)(-i)-1+2=0, ok. Um autovetor complexo é
w = \begin{pmatrix}-i\\[2pt] 1\\[2pt] 1\end{pmatrix}.
Separando parte real e imaginária escrevemos w=u+i v com
(Como obter soluções reais a partir do autovalor complexo.) Regra importante: se \lambda=\alpha+i\beta é um autovalor e w=u+i v o autovetor (com u,v reais), então as duas funções reais
são soluções reais independentes do sistema. Aqui \alpha=1 e \beta=1, com u e v acima. Calculando explicitamente:
u\cos t - v\sin t = \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}\cos t - \begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}\sin t = \begin{pmatrix}\sin t\\[2pt]\cos t\\[2pt]\cos t\end{pmatrix},
u\sin t + v\cos t = \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}\sin t + \begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}\cos t = \begin{pmatrix}-\cos t\\[2pt]\sin t\\[2pt]\sin t\end{pmatrix}.
Multiplicando por e^{\alpha t}=e^{t} obtemos duas soluções reais: