Encontre a solução geral de cada sistema:
X^{\prime}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\\\ -1 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1\end{array}\right) X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de primeira ordem
X' = A X
onde X(t)\in\mathbb{R}^3 e a matriz A é
A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2 \\[4pt] -1 & 1 & 0 \\[4pt] -1 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Informações dadas que usarei explicitamente:
  • A matriz A com seus elementos acima.
  • A incógnita X é o vetor coluna X=(x_1,x_2,x_3)^T.
    O que se pede: encontrar a solução geral X(t) para todo t.]

Passo 2

(Encontrar autovalores de A.) Para obter a solução geral de um sistema linear autônomo X'=AX usamos autovalores/auto-vetores de A. Calcula-se o polinômio característico \det(A-\lambda I). Montando A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & -1 & 2 \\[4pt] -1 & 1-\lambda & 0 \\[4pt] -1 & 0 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Calculo do determinante (desenvolvendo pela primeira linha):
\begin{aligned} \det(A-\lambda I) &= (1-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 0 \\[2pt] 0 & 1-\lambda\end{pmatrix} -(-1)\det\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[2pt] -1 & 1-\lambda\end{pmatrix} +2\det\begin{pmatrix}-1 & 1-\lambda \\[2pt] -1 & 0\end{pmatrix}\\[6pt] &= (1-\lambda)(1-\lambda)^2 - \bigl(-(1-\lambda)\bigr) +2\bigl((1-\lambda)\bigr)\\[4pt] &= (1-\lambda)^3 -(1-\lambda) +2(1-\lambda)\\[4pt] &= (1-\lambda)^3 + (1-\lambda)\\[4pt] &= (1-\lambda)\bigl((1-\lambda)^2+1\bigr). \end{aligned}
Logo as raízes são
\lambda_1 = 1,\qquad (1-\lambda)^2+1=0\Rightarrow 1-\lambda=\pm i
portanto
\lambda_{2,3}=1\pm i.]

Passo 3

(Autovetor associado a \lambda=1.) Para \lambda=1 resolvemos (A-I)v=0. A matriz A-I é
A-I=\begin{pmatrix}0 & -1 & 2\\[4pt]-1 & 0 & 0\\[4pt]-1 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Do sistema (A-I)v=0 obtemos, pelas equações:
- v_2 + 2 v_3 = 0,\qquad -v_1 =0,
logo v_1=0 e v_2=2v_3. Tomando v_3=1 escolho o autovetor
v^{(1)}=\begin{pmatrix}0\\[2pt] 2\\[2pt] 1\end{pmatrix}.
Isso gera a solução exponencial associada:
X^{(1)}(t)=e^{\lambda_1 t} v^{(1)} = e^{t}\begin{pmatrix}0\\[2pt] 2\\[2pt] 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

(Autovetor complexo para \lambda=1+i e separação em parte real/ímaginária.) Para \lambda=1+i resolvemos (A-(1+i)I)w=0. A matriz é
A-(1+i)I=\begin{pmatrix}-i & -1 & 2\\[4pt]-1 & -i & 0\\[4pt]-1 & 0 & -i\end{pmatrix}.
Escrevendo as equações para w=(x,y,z)^T:
(-i)x - y + 2z = 0,\qquad -x - i y =0,\qquad -x - i z =0.
Das duas últimas vem x=-i y e x=-i z, portanto y=z. Tomando y=z=1 obtém-se x=-i e verifica-se que a primeira equação fica (-i)(-i)-1+2=0, ok. Um autovetor complexo é
w = \begin{pmatrix}-i\\[2pt] 1\\[2pt] 1\end{pmatrix}.
Separando parte real e imaginária escrevemos w=u+i v com
u=\operatorname{Re}(w)=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad v=\operatorname{Im}(w)=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 5

(Como obter soluções reais a partir do autovalor complexo.) Regra importante: se \lambda=\alpha+i\beta é um autovalor e w=u+i v o autovetor (com u,v reais), então as duas funções reais
e^{\alpha t}\bigl(u\cos(\beta t)-v\sin(\beta t)\bigr) \quad\text{e}\quad e^{\alpha t}\bigl(u\sin(\beta t)+v\cos(\beta t)\bigr)
são soluções reais independentes do sistema. Aqui \alpha=1 e \beta=1, com u e v acima. Calculando explicitamente:
u\cos t - v\sin t = \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}\cos t - \begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}\sin t = \begin{pmatrix}\sin t\\[2pt]\cos t\\[2pt]\cos t\end{pmatrix},
u\sin t + v\cos t = \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}\sin t + \begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}\cos t = \begin{pmatrix}-\cos t\\[2pt]\sin t\\[2pt]\sin t\end{pmatrix}.
Multiplicando por e^{\alpha t}=e^{t} obtemos duas soluções reais:
X^{(2)}(t)=e^{t}\begin{pmatrix}\sin t\\[2pt]\cos t\\[2pt]\cos t\end{pmatrix}, \qquad X^{(3)}(t)=e^{t}\begin{pmatrix}-\cos t\\[2pt]\sin t\\[2pt]\sin t\end{pmatrix}.]

Passo 6

(Combinação linear e conclusão.) Temos três soluções reais independentes X^{(1)}, X^{(2)}, X^{(3)}. A solução geral do sistema é a combinação linear:
X(t)=C_1 X^{(1)}(t)+C_2 X^{(2)}(t)+C_3 X^{(3)}(t),
com constantes reais C_1,C_2,C_3. É comum fatorar e^{t} e escrever:
X(t)=e^{t}\Biggl[ C_1\begin{pmatrix}0\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix} + C_2\begin{pmatrix}\sin t\\[2pt]\cos t\\[2pt]\cos t\end{pmatrix} + C_3\begin{pmatrix}-\cos t\\[2pt]\sin t\\[2pt]\sin t\end{pmatrix} \Biggr].]

Resposta

X(t)=e^{t}\Biggl[ C_1\begin{pmatrix}0\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix} + C_2\begin{pmatrix}\sin t\\[2pt]\cos t\\[2pt]\cos t\end{pmatrix} + C_3\begin{pmatrix}-\cos t\\[2pt]\sin t\\[2pt]\sin t\end{pmatrix} \Biggr],
com C_1,C_2,C_3\in\mathbb{R}.]

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