Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série infinita converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. O conteúdo envolvido é análise de séries numéricas, em especial séries telescópicas, e vamos precisar usar a definição de soma parcial e propriedade de cancelamento das parcelas.
Passo 2
Vamos calcular a soma parcial
da série:
Observe que há cancelamento em cascata (telescoping): todos os termos internos se anulam, sobrando apenas
Passo 3
Agora tomamos o limite quando
. Como
, o segundo termo vai a zero, ou seja,
Logo, a série converge e sua soma é
.
Resposta
A série converge e sua soma é
.