Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
sumk=1^infty(12^k-12^k+1)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série infinita converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. O conteúdo envolvido é análise de séries numéricas, em especial séries telescópicas, e vamos precisar usar a definição de soma parcial e propriedade de cancelamento das parcelas.

Passo 2

Vamos calcular a soma parcial Sn da série:
Sn = sumk=1^n l(12^k - 12^k+1r) = l(tfrac12 - tfrac14r) + l(tfrac14 - tfrac18r) + cdots + l(tfrac12^n - tfrac12^n+1r)
Observe que há cancelamento em cascata (telescoping): todos os termos internos se anulam, sobrando apenas
Sn = 12 - 12^n+1

Passo 3

Agora tomamos o limite quando n to infty. Como 2^n+1 to infty, o segundo termo vai a zero, ou seja,
limntoinftySn = 12 - 0 = 12
Logo, a série converge e sua soma é tfrac12.

Resposta

A série converge e sua soma é 12.

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