Achar a solução em série correspondente a maior raiz de equação indicial num ponto singular
(usar
)
Passo 1
Temos a EDO:
. O ponto
é singular regular, e vamos usar o método de Frobenius para encontrar a solução em série no formato
, com
. Precisaremos achar a equação indicial, resolver as raízes
, escolher a maior delas e impor
.
Passo 2
Assumindo
, temos as derivadas
Substituindo na EDO e coletando o menor expoente
(caso
), obtemos a equação indicial
que se rearranja em
e cujas raízes são
e
. A maior é
.
Passo 3
Escolhendo
, escrevemos
Voltando à EDO, além dos termos de segunda e primeira derivada surge
. O termo
gera um deslocamento de índice, e em cada potência
chegamos ao sistema de coeficientes
Para a condição de anular o coeficiente de
dá
Para
Substituindo
simplifica para
levando à recorrência Daí obtemos a relação de recorrência
e então os primeiros coeficientes são
e assim por diante.
Passo 4
A solução em série correspondente à maior raiz
, com
, fica
Resposta
y(x)=x^{3/2}\Bigl[1 - \tfrac{6}{13}x + \tfrac{18}{247}x^{2} - \cdots\Bigr], onde a recorrência geral é
.