Achar a solução em série correspondente a maior raiz de equação indicial num ponto singular x0=0 (usar a0=1 )
x^2 y^prime prime-56 x y^prime+12(1+2 x) y=0

Passo 1

Temos a EDO: x^2y'' - tfrac56x y' + tfrac12(1+2x)y = 0. O ponto x0=0 é singular regular, e vamos usar o método de Frobenius para encontrar a solução em série no formato y = sumn=0^inftyan x^n+r, com a0neq0. Precisaremos achar a equação indicial, resolver as raízes r, escolher a maior delas e impor a0=1.

Passo 2

Assumindo y=sumn=0^infty an x^n+r, temos as derivadas
y' = sumn=0^infty an (n+r)x^n+r-1, y'' = sumn=0^infty an (n+r)(n+r-1)x^n+r-2
Substituindo na EDO e coletando o menor expoente x^r (caso n=0), obtemos a equação indicial
(r)(r-1) - tfrac56r + tfrac12 = 0
que se rearranja em
6r^2 - 11r + 3 = 0
e cujas raízes são r1=tfrac32 e r2=tfrac13. A maior é r=tfrac32.

Passo 3

Escolhendo r=tfrac32, escrevemos
y = x^3/2 sumn=0^infty an x^n, a0=1
Voltando à EDO, além dos termos de segunda e primeira derivada surge tfrac12y + xy. O termo xy gera um deslocamento de índice, e em cada potência x^n+r chegamos ao sistema de coeficientes
Para n>=1 a condição de anular o coeficiente de x^n+r
anl[(n+r)(n+r-1)-tfrac56(n+r)+tfrac12r] + an-1 = 0
Substituindo r=tfrac32 simplifica para
(n+tfrac32)(n+tfrac12)-tfrac56(n+tfrac32)+tfrac12 = n(n+tfrac76),
levando à recorrência Daí obtemos a relação de recorrência
an = -an-1nl(n+tfrac76r), a0=1,
e então os primeiros coeficientes são
a1 = -11cdot(1+7/6) = -613,
a2 = -a12cdot(2+7/6) = 18247,
e assim por diante.

Passo 4

A solução em série correspondente à maior raiz r=3/2, com a0=1, fica

Resposta

y(x)=x^{3/2}\Bigl[1 - \tfrac{6}{13}x + \tfrac{18}{247}x^{2} - \cdots\Bigr], onde a recorrência geral é an=-an-1/[n(n+7/6)].

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