Questão 3 (2,0): Encontre o intervalo de convergência da série de potências abaixo
sumn=1^infty (2 x-4)^n3 n 4^n

Passo 1

Na questão, temos a série de potências sumn=1^infty (2x-4)^n3n4^n. O conteúdo é séries de potências e vamos usar conhecimento da série logarítmica sum z^n/n para encontrar o raio e intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, fatoramos constantes e definimos z=2x-44. A série fica
13sumn=1^infty z^nn
Então nosso estudo de convergência reduz-se a sum z^n/n.

Passo 3

Sabemos que a série sumn=1^infty z^n/n converge para |z|<1, diverge em z=1 (harmônica) e converge condicionalmente em z=-1 (série alternante).

Passo 4

A condição |z|<1
l|2x-44r|<1
que equivale a
|x-2|<2
ou seja
0.

Passo 5

Agora testamos os extremos:
Em x=0, temos z=-1 e a série converge (alternante).
Em x=4, temos z=1 e a série diverge (harmônica).

Resposta

O intervalo de convergência é [0,4).

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