Questão : Mostre que a série abaixo é condicionalmente convergente.
Passo 1
Nesta questão queremos mostrar que a série é condicionalmente convergente. O conteúdo principal envolve o teste de Leibniz para séries alternadas e o teste da integral para verificar divergência da série de valores absolutos.
Passo 2
Primeiro aplicamos o teste de Leibniz. Definimos . Precisamos verificar: (i) , (ii) para grande, e (iii) .
Passo 3
Mostramos que pois \nlim_{n\to\infty}1/(n\ln n)=0. Em seguida, para ver a monotonicidade, considere a função para e calculemos sua derivada:
Isso mostra que é decrescente em e, portanto, a sequência é decrescente para .
Passo 4
Como , decresce e , pelo teste de Leibniz a série alternada converge.
Passo 5
Para testar convergência absoluta, analisamos . Aplicamos o teste da integral: