Questão 2(2,0) : Mostre que a série abaixo é condicionalmente convergente.
sumn=2^infty (-1)^nn ln (n)

Passo 1

Nesta questão queremos mostrar que a série sumn=2^infty (-1)^nnln n é condicionalmente convergente. O conteúdo principal envolve o teste de Leibniz para séries alternadas e o teste da integral para verificar divergência da série de valores absolutos.

Passo 2

Primeiro aplicamos o teste de Leibniz. Definimos an = 1nln n. Precisamos verificar: (i) an>0, (ii) an+1<= an para n grande, e (iii) limntoinftyan=0.

Passo 3

Mostramos que limntoinftyan=0 pois \nlim_{n\to\infty}1/(n\ln n)=0. Em seguida, para ver a monotonicidade, considere a função f(x)=1/(xln x) para x>1 e calculemos sua derivada:
f'(x) = -1+ln xx^2(ln x)^2 < 0, x>1
Isso mostra que f(x) é decrescente em (1,infty) e, portanto, a sequência (an) é decrescente para n>=2.

Passo 4

Como an>0, an decresce e anto0, pelo teste de Leibniz a série alternada sum(-1)^n an converge.

Passo 5

Para testar convergência absoluta, analisamos sumn=2^infty l|(-1)^n/(nln n)r|=sumn=2^infty 1/(nln n). Aplicamos o teste da integral:
integral2^infty dxxln x = limttoinfty [ln(ln x)]2^t = limttoinfty l(ln(ln t)-ln(ln2)r) = +infty
Portanto, a série de termos absolutos diverge.

Passo 6

Concluímos que a série converge, mas não converge absolutamente. Logo, ela é condicionalmente convergente.

Resposta

A série sumn=2^infty (-1)^nnln n é condicionalmente convergente.

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