Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
sumk=1^infty(23)^k+2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumk=1^inftyl(tfrac23r)^k+2 converge e, em caso afirmativo, encontrar sua soma. Esse é um problema de soma de série geométrica, e vamos precisar usar a condição de convergência |r|<1 e a fórmula S=a1/(1-r).

Passo 2

Primeiro, identificamos o termo geral como potência de razão constante. Note que
l(tfrac23r)^k+2 = l(tfrac23r)^2 cdot l(tfrac23r)^k = 49(tfrac23)^k
Para a forma padrão de série geométrica começando em k=1, podemos também ver que o primeiro termo é
a1 = l(tfrac23r)^1+2 = l(tfrac23r)^3 = 827
e a razão é r=tfrac23.

Passo 3

Uma série geométrica sum a1 r^k-1 converge se, e somente se, |r|<1. Aqui temos |r|=tfrac23<1, logo a série converge.

Passo 4

Para encontrar a soma, aplicamos a fórmula
S = a11-r = tfrac8271 - tfrac23 = tfrac827tfrac13 = 89

Resposta

A série converge e sua soma é 8/9.

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