(4) Calcule os seguintes limites:
lim x 4(2 x^4-3 x^2+2 x-1) & lim x 2 x+12 x+3 lim x 3 / 2 raiz8 t^3-274 t^2-9 & lim x 1 raizx-1x-1 lim x pi cos (2 x)+1 & lim h 0 raiz[3]h+1-1h

Passo 1

Nesse exercício temos seis limites: envolvendo um polinômio, uma função racional, uma expressão com raiz quadrada indeterminada, outra com diferença de raiz quadrada, uma função trigonométrica contínua e uma expressão com raiz cúbica indeterminada. Vamos usar continuidade de funções elementares, fatoração de soma/diferença de cubos, racionalização de numeradores e o conceito de derivada para limites do tipo f(x)-f(a)x-a.

Passo 2

Para limx to 4(2x^4-3x^2+2x-1), como polinômios são contínuos, basta substituir x=4 em 2x^4-3x^2+2x-1, obtendo
2cdot4^4-3cdot4^2+2cdot4-1=2cdot256-3cdot16+8-1=512-48+8-1=471.

Passo 3

Para limx to 2x+12x+3, funções racionais são contínuas onde o denominador é não zero. Substituindo x=2 em x+12x+3 2+12cdot2+3=37.

Passo 4

Para limt to 3/2 raiz8t^3-274t^2-9, a substituição direta dá raiz0/0, então fatoramos 8t^3-27=(2t-3)(4t^2+6t+9) e 4t^2-9=(2t-3)(2t+3). Cancelando (2t-3) e avaliando em t=3/2 temos dentro da raiz
4t^2+6t+92t+3vertt=3/2=276=tfrac92. Logo o limite é
raiz9/2=3/raiz2=3raiz22.

Passo 5

Para limx to 1raizx-1x-1, de novo dá 0/0. Racionalizamos multiplicando por raizx+1raizx+1, obtendo
x-1(x-1)(raizx+1)=1raizx+1, que em x=1 vale 12.

Passo 6

Para limx to pi(cos(2x)+1), como cosseno é contínuo, basta substituir x=pi em cos(2pi)+1=1+1=2.

Passo 7

Para limh to 0raiz[3]h+1-1h, a forma 0/0 indica derivada de f(u)=u^1/3 em u=1. Assim o limite é
f'(1)=tfrac13cdot1^-2/3=tfrac13.

Resposta

471, 37, 3raiz22, 12, 2, 13

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