Nesse exercício temos seis limites: envolvendo um polinômio, uma função racional, uma expressão com raiz quadrada indeterminada, outra com diferença de raiz quadrada, uma função trigonométrica contínua e uma expressão com raiz cúbica indeterminada. Vamos usar continuidade de funções elementares, fatoração de soma/diferença de cubos, racionalização de numeradores e o conceito de derivada para limites do tipo .
Passo 2
Para , como polinômios são contínuos, basta substituir em , obtendo .
Passo 3
Para , funções racionais são contínuas onde o denominador é não zero. Substituindo em dá .
Passo 4
Para , a substituição direta dá , então fatoramos e . Cancelando e avaliando em temos dentro da raiz . Logo o limite é raiz9/2=3/raiz2=3raiz22.
Passo 5
Para limx to 1raizx-1x-1, de novo dá 0/0. Racionalizamos multiplicando por raizx+1raizx+1, obtendo x-1(x-1)(raizx+1)=1raizx+1, que em x=1 vale 12.
Passo 6
Para limx to pi(cos(2x)+1), como cosseno é contínuo, basta substituir x=pi em cos(2pi)+1=1+1=2.
Passo 7
Para limh to 0raiz[3]h+1-1h, a forma 0/0 indica derivada de f(u)=u^1/3 em u=1. Assim o limite é f'(1)=tfrac13cdot1^-2/3=tfrac13.