Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
sumk=5^infty(epi)^k-1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumk=5^inftyl(tfracepir)^k-1 converge e, em caso afirmativo, encontrar sua soma. O conteúdo principal é séries geométricas infinitas, nas quais usamos o critério de convergência |r|<1 e a fórmula da soma.

Passo 2

Uma série geométrica infinita de primeira termo a1 e razão r converge se |r|<1. Nesse caso, sua soma é dada por
S=a11-r

Passo 3

Aqui a razão é
r=epi
Como eapprox2,718 e piapprox3,142, temos |r|=e/pi<1. Logo a série converge.

Passo 4

O primeiro termo corresponde a k=5, ou seja
a1=l(epir)^5-1=l(epir)^4

Passo 5

Aplicando a fórmula da soma:
S=a11-r=(e/pi)^41-(e/pi)
Podemos simplificar o denominador 1-(e/pi)=pi-epi, o que dá:
S=(e/pi)^4(pi-e)/pi=e^4pi^3(pi-e)

Resposta

A série converge e sua soma é e^4pi^3(pi - e).

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