Use diferenciação para mostrar que a seqüência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
1n+ln nn=1^+infty

Passo 1

Estamos com a sequência ann=1^infty, onde an=dfrac1n+ln n. O objetivo é mostrar se ela é estritamente crescente ou decrescente usando diferenciação, estendendo-a a uma função real f(x).

Passo 2

Definimos a função de variável real
f(x)=1x+ln x, x>0
Essa escolha faz com que f(n)=an para inteiros n>=1, e aí basta analisar o sinal de f'(x).

Passo 3

Para calcular a derivada, escrevemos o denominador como g(x)=x+ln x, cuja derivada é g'(x)=1+1/x. Aplicando a regra do quociente, obtemos
f'(x)=-g'(x)[g(x)]^2=-1+tfrac1x(x+ln x)^2

Passo 4

Agora, para todo x>=1 temos 1+tfrac1x>0 e x+ln x>=1>0. Então o numerador -(1+1/x) é negativo e o denominador (x+ln x)^2 é positivo, o que implica
f'(x)<0para todo x>=1

Passo 5

Como f'(x)<0 em [1,+infty), a função f é estritamente decrescente e, portanto, para inteiros n>=1 vale an+1=f(n+1). Logo a sequência é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente.

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