Use diferenciação para mostrar que a seqüência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
Passo 1
Estamos com a sequência
, onde
. O objetivo é mostrar se ela é estritamente crescente ou decrescente usando diferenciação, estendendo-a a uma função real
.
Passo 2
Definimos a função de variável real
Essa escolha faz com que
para inteiros
, e aí basta analisar o sinal de
.
Passo 3
Para calcular a derivada, escrevemos o denominador como
, cuja derivada é
. Aplicando a regra do quociente, obtemos
Passo 4
Agora, para todo
temos
e
. Então o numerador
é negativo e o denominador
é positivo, o que implica
Passo 5
Como
em
, a função
é estritamente decrescente e, portanto, para inteiros
vale
. Logo a sequência é estritamente decrescente.
Resposta
A sequência é estritamente decrescente.