Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
sumk=1^infty(-34)^k-1

Passo 1

Temos a série sumk=1^infty (-34)^k-1. Esse tipo de série é chamada de série geométrica. Vamos verificar a convergência e, se convergir, usar a fórmula de soma para séries geométricas.

Passo 2

Para uma série geométrica da forma sumk=1^infty a,r^k-1, ela converge se |r|<1. No nosso caso, r=-tfrac34 e |r|=tfrac34<1, logo a série converge.

Passo 3

A soma de uma série geométrica convergente é dada por:
S = a1 - r

Passo 4

Aqui o primeiro termo é a = (-tfrac34)^0 = 1 e a razão é r = -tfrac34. Substituindo, temos:
S = 11 - l(-tfrac34r) = 11 + tfrac34 = 1tfrac74 = 47

Resposta

47

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