Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(x, y) = \frac{x+1}{y-1} $. Isso significa que vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais, que nos permite ver como a função muda em relação a cada variável, uma de cada vez. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, $ f_x $ e $ f_y $. Isso nos ajuda a entender como a função muda quando variamos apenas $ x $ ou apenas $ y $.
Para encontrar $ f_x $, derivamos $ f $ em relação a $ x $, tratando $ y $ como uma constante:
Já para $ f_y $, derivamos $ f $ em relação a $ y $, tratando $ x $ como uma constante:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente $ f_x $ e $ f_y $ em relação a $ x $ e $ y $.
Primeiro, a segunda derivada em relação a $ x $:
Como $ \frac{1}{y-1} $ não depende de $ x $, a derivada é zero.
Em seguida, a derivada mista $ f_{xy} $ (primeiro derivar em $ x $, depois em $ y $):
De forma semelhante, a derivada mista $ f_{yx} $ (primeiro derivar em $ y $, depois em $ x $) será igual a $ f_{xy} $:
Por fim, a segunda derivada em relação a $ y $:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(x, y) = \frac{x+1}{y-1} $ são: