Mostre que a função é diferenciável
b) f(x, y)=(x+sen(y)) ln (x^2+y^2+1)

Passo 1

A gente quer mostrar que a função f: R^2toR dada por
f(x,y)=(x+sen(y)),lnl(x^2+y^2+1r)
é diferenciável. O conteúdo aqui envolve derivabilidade de funções de duas variáveis e o teorema que diz: se as derivadas parciais existem e são contínuas, então a função é diferenciável (classe C^1).

Passo 2

Observando que as funções elementares envolvidas são todas C^infty:
(x,y)mapsto x e (x,y)mapsto sen(y) são C^infty,
(x,y)mapsto x^2+y^2+1 é polinomial, logo C^infty,
umapstoln(u) é C^infty para u>0.
Como soma, produto e composição de funções C^infty é C^infty, concluímos já que fin C^infty(R^2) e, portanto, diferenciável. Para tornar isso mais transparente, vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a x:
partial fpartial x(x,y) = 1cdot lnl(x^2+y^2+1r) + (x+sen(y))cdot 2xx^2+y^2+1
E em relação a y:
partial fpartial y(x,y) = cos(y),lnl(x^2+y^2+1r) + (x+sen(y))cdot 2yx^2+y^2+1

Passo 4

Cada parcela nessas expressões é uma função contínua de (x,y) em todo R^2. Logo, partial f/partial x e partial f/partial y são contínuas. Pelo critério de existência de derivada total (se as derivadas parciais existem e são contínuas, então a função é diferenciável), concluímos que f é diferenciável.

Passo 5

Portanto, a função
f(x,y)=(x+sen(y)),lnl(x^2+y^2+1r)
é diferenciável em todo R^2.

Resposta

A função f(x,y)=(x+sen(y)),ln(x^2+y^2+1) é diferenciável em R^2.

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