Mostre que a função é diferenciável
b)
b)
Passo 1
A gente quer mostrar que a função f:
dada por
é diferenciável. O conteúdo aqui envolve derivabilidade de funções de duas variáveis e o teorema que diz: se as derivadas parciais existem e são contínuas, então a função é diferenciável (classe
Passo 2
Observando que as funções elementares envolvidas são todas
:
– e
são
,
– é polinomial, logo
,
– é
para
.
Como soma, produto e composição de funções é
, concluímos já que
e, portanto, diferenciável. Para tornar isso mais transparente, vamos calcular as derivadas parciais.
–
–
–
Como soma, produto e composição de funções
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E em relação a
:
Passo 4
Cada parcela nessas expressões é uma função contínua de
em todo
. Logo,
e
são contínuas. Pelo critério de existência de derivada total (se as derivadas parciais existem e são contínuas, então a função é diferenciável), concluímos que
é diferenciável.
Passo 5
Portanto, a função
é diferenciável em todo
Resposta
A função
é diferenciável em
.