Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
sumk=1^infty(-1)^k-1 76^k-1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumk=1^infty(-1)^k-1 76^k-1
converge e, se convergir, encontrar sua soma. Vamos usar o conceito de série geométrica.

Passo 2

Para identificar a estrutura geométrica, fazemos a troca de índice n = k - 1. Assim a soma vira
sumn=0^infty(-1)^n 76^n = sumn=0^infty7(-tfrac16)^n

Passo 3

Essa é uma série geométrica com primeiro termo a = 7 e razão r = -tfrac16. A série geométrica converge se |r| < 1. Aqui temos |r| = tfrac16 < 1, então ela converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica convergente é dada por
S = a1 - r
Substituindo a = 7 e r = -tfrac16, obtemos
S = 71 - l(-tfrac16r) = 71 + tfrac16 = 7tfrac76 = 6

Resposta

A série converge e sua soma é 6.

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