Use sếries geométricas para mostrar que
© sumk=0^infty(-1)^k x^2 k=11+x^2 se -1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série sumk=0^infty(-1)^kx^2k converge para -1 e que seu valor é 1/(1+x^2). O conteúdo é soma de série geométrica, e vamos precisar da fórmula
sumk=0^inftyr^k=11-r,para |r|<1

Passo 2

Observe que o termo geral da série pode ser escrito como
(-1)^k x^2k = l(-x^2r)^k
Logo, trata-se de uma série geométrica de razão r=-x^2.

Passo 3

Para usar a fórmula da soma, precisamos de |r|<1. Como r=-x^2, temos
|r|=|x^2|=x^2<1Long<=ftrightarrow|x|<1
Essa condição coincide com -1, garantido no enunciado.

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma geométrica com r=-x^2, obtemos
$$
\sum_{k=0}{\infty}(-1)k x^{2k} = \sum_{k=0}{\infty}rk = \frac{1}{1-r} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \frac{1}{1+x^2}.
$$

Resposta

11+x^2

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