Use sếries geométricas para mostrar que
©
se
.
©
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
converge para
e que seu valor é
. O conteúdo é soma de série geométrica, e vamos precisar da fórmula
Passo 2
Observe que o termo geral da série pode ser escrito como
Logo, trata-se de uma série geométrica de razão
.
Passo 3
Para usar a fórmula da soma, precisamos de
. Como
, temos
Essa condição coincide com
, garantido no enunciado.
Passo 4
Aplicando a fórmula da soma geométrica com
, obtemos
$$
\sum_{k=0}{\infty}(-1)k x^{2k} = \sum_{k=0}{\infty}rk = \frac{1}{1-r} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \frac{1}{1+x^2}.
$$