Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
sumk=1^infty 4^k+27^k-1

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência e, se houver, achar a soma da série sumk=1^infty 4^k+27^k-1. O conteúdo é séries e, em particular, vamos precisar reconhecer e usar propriedades de séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral para identificar a forma de progressão geométrica. Note que 4^k+2 = 4^2 cdot 4^k = 16,4^k e 7^k-1 = 7^k7. Logo,
4^k+27^k-1 = 16,4^k7^k/7 = 16,4^k cdot 77^k = 112 cdot l(47r)^k

Passo 3

Agora vemos que a série é
sumk=1^infty 112l(47r)^k,
ou seja, uma série geométrica de primeiro termo a1 = 112,(4/7) e razão r = 4/7. Em geral, uma série geométrica sumk=1^infty a1r^k-1 converge se e somente se |r|<1, e sua soma é S = a11-r.

Passo 4

No nosso caso, porém, escrevemos a soma começando em k=1 como sum 112,(4/7)^k = 112sum r^k. Sabendo que sumk=1^infty r^k = r1-r para |r|<1, aplicamos com r=4/7:
sumk=1^infty 112l(47r)^k = 112 cdot 4/71 - 4/7 = 112 cdot 4/73/7 = 112 cdot 43 = 4483

Resposta

A série converge e sua soma é tfrac4483.

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