Verifique que as funções dadas satisfazem a equação de Laplace em dimensão 3, partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=0
(b) f(x, y, z)=e^3 x+4 y cos (5 z)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! O exercício pede para verificar se a função $ f(x, y, z) = e^{3x + 4y} \cos(5z) $ satisfaz a equação de Laplace em três dimensões. A equação de Laplace é uma equação diferencial que aparece em várias áreas da física e matemática, especialmente em problemas de potencial, como eletrostática e mecânica dos fluidos. Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $ e somá-las para ver se dá zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de $ f $ em relação a $ x $. A função $ f $ é $ e^{3x + 4y} \cos(5z) $. Quando derivamos em relação a $ x $, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes.
A primeira derivada de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
Agora, a segunda derivada:
x

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para a derivada em relação a $ y $. A função é $ e^{3x + 4y} \cos(5z) $.
A primeira derivada de $ f $ em relação a $ y $ é:
y
E a segunda derivada:
e^3x + 4y cos(5z)

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada em relação a $ z $. A função é $ e^{3x + 4y} \cos(5z) $.
A primeira derivada de $ f $ em relação a $ z $ é:
z
E a segunda derivada:
e^3x + 4y cos(5z)

Passo 5

Agora que temos todas as segundas derivadas, vamos somá-las de acordo com a equação de Laplace:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 + partial^2 fpartial z^2 = 9 e^3x + 4y cos(5z) + 16 e^3x + 4y cos(5z) - 25 e^3x + 4y cos(5z)
Vamos simplificar isso:
(9 + 16 - 25) e^3x + 4y cos(5z) = 0 cdot e^3x + 4y cos(5z) = 0

Resposta

A função $ f(x, y, z) = e^{3x + 4y} \cos(5z) $ satisfaz a equação de Laplace em três dimensões, já que a soma das suas segundas derivadas é igual a zero.

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