Calcule, pelo método das secções planas paralelas, o volume de um cone circular reto de altura igual a 30 cm e raio da base igual a 10 cm .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume de um cone circular reto de altura 30 cm e raio da base 10 cm usando o método de secções planas paralelas. O conteúdo envolvido é cálculo de volume por integração de áreas transversais, e vamos precisar de: (a) expressar o raio da secção em função da posição, (b) escrever a área dessa secção, e © integrar de uma extremidade à outra do sólido.

Passo 2

Para relacionar o raio da seção em função da altura, adotamos um eixo x que vai do vértice (x = 0) até a base (x = h). Usando semelhança de triângulos, temos
r(x)/x = R/h
onde R = 10 cm e h = 30 cm. Assim,
r(x) = Rh,x = 1030x = x3

Passo 3

A área da seção transversal em x, que é um círculo de raio r(x), fica
A(x) = pi,[r(x)]^2 = pi(x3)^2 = pi9x^2

Passo 4

O volume do cone é a integral de A(x) de x = 0 até x = h = 30 cm. Logo,
V = integral0^30 A(x),dx = integral0^30 pi9x^2,dx = pi9integral0^30 x^2,dx
Sabemos que integral0^30 x^2,dx = l[tfracx^33r]0^30 = tfrac30^33 = tfrac270003 = 9000

Passo 5

Substituindo, obtemos
V = pi9 times 9000 = 1000pi

Resposta

1000pi,cm^3

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