Calcule, pelo método das secções planas paralelas, o volume de um cone circular reto de altura igual a 30 cm e raio da base igual a 10 cm .
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume de um cone circular reto de altura 30 cm e raio da base 10 cm usando o método de secções planas paralelas. O conteúdo envolvido é cálculo de volume por integração de áreas transversais, e vamos precisar de: (a) expressar o raio da secção em função da posição, (b) escrever a área dessa secção, e © integrar de uma extremidade à outra do sólido.
Passo 2
Para relacionar o raio da seção em função da altura, adotamos um eixo x que vai do vértice (x = 0) até a base (x = h). Usando semelhança de triângulos, temos
onde R = 10 cm e h = 30 cm. Assim,
Passo 3
A área da seção transversal em x, que é um círculo de raio r(x), fica
Passo 4
O volume do cone é a integral de A(x) de x = 0 até x = h = 30 cm. Logo,
Sabemos que
Passo 5
Substituindo, obtemos