Ache o volume do toro gerado pela rotação do círculo x^2+y^2=4, em torno da reta x=3.

Passo 1

O enunciado pede o volume do toro obtido ao girar o círculo x^2+y^2=4 (raio 2, centro na origem) em torno da reta x=3. O assunto é sólidos de revolução e vamos usar o Teorema de Pappus para calcular.

Passo 2

O raio menor do toro é o próprio raio do círculo: r=2. O raio maior R é a distância do centro do círculo (origem) à reta x=3, ou seja R=3.

Passo 3

Pelo Teorema de Pappus, o volume é a área da região girada A multiplicada pelo comprimento da trajetória do seu centróide. Aqui A=pi r^2 e o centróide descreve um círculo de comprimento 2pi R. Logo,
V = A times (trajetória) = (pi r^2),(2pi R) = 2,pi^2,R,r^2ó

Passo 4

Basttoar agora substituir r=2 e R=3 em V = 2pi^2 R r^2:
V = 2pi^2 times 3 times 2^2 = 24,pi^2

Resposta

24\pi^2

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