Determine se a série converge ou diverge. Justifique sua resposta.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdots(3 n+2)}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2\cdot 5\cdot 8\cdots(3n+2)}
e pede que eu determine se essa série converge ou diverge, justificando a resposta. Informações relevantes que tenho a partir do enunciado:
  • Cada termo geral é positivo (numerador e denominador são positivos para todo n\ge1).
  • O denominador é o produto de termos em progressão aritmética com razão 3 (começando em 2).
  • A pergunta é uma única: decidir convergência ou divergência da série e justificar.

Passo 2

Vou trabalhar com o termo geral da série e observar como ele se comporta entre n e n+1. Denoto o n-ésimo termo por
a_n=\frac{n!}{2\cdot 5\cdot 8\cdots(3n+2)}.
Repare que todos os a_n são positivos, o que permite usar testes que exigem positividade (por exemplo, o teste da razão).

Passo 3

Apresento o teste que vou usar (explicando bem): o teste da razão diz o seguinte. Para uma série com termos positivos \sum a_n, se existir
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n},
então
  • se L<1 a série converge (convergência absoluta);
  • se L>1 a série diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
    A ideia intuitiva é comparar o decaimento dos termos com uma progressão geométrica: se a_{n+1}/a_n tende a um número menor que 1, os termos diminuem geometricamente e a soma converge.

Passo 4

Calculo a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Primeiro escrevo a_{n+1}:
a_{n+1}=\frac{(n+1)!}{2\cdot 5\cdot 8\cdots(3n+2)\cdot(3(n+1)+2)}.
Agora formo a razão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\dfrac{(n+1)!}{2\cdot 5\cdot 8\cdots(3n+2)\cdot(3(n+1)+2)}}{\dfrac{n!}{2\cdot 5\cdot 8\cdots(3n+2)}}.

Passo 5

Faço as simplificações na razão: os fatores 2\cdot5\cdot8\cdots(3n+2) cancelam e sobra
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{(n+1)!}{n!}\cdot\frac{1}{3(n+1)+2} =\frac{n+1}{3n+5}.

Passo 6

Avalio o limite da razão quando n\to\infty. Uso um procedimento padrão: dividir numerador e denominador por n (ou observar o termo dominante):
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{3n+5} =\lim_{n\to\infty}\frac{1+\tfrac{1}{n}}{3+\tfrac{5}{n}} =\frac{1}{3}.
Portanto o limite L do quociente é L=\dfrac{1}{3}.

Passo 7

Aplicando o teste da razão: como L=\dfrac{1}{3}<1, concluímos que a série converge. Intuitivamente, para n grande o termo geral a_n decresce aproximadamente como uma razão geométrica com razão cerca de \tfrac{1}{3}, então a soma se comporta como uma série geométrica convergente.

Resposta

A série converge.

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