Determine se a série converge ou diverge. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede que eu determine se essa série converge ou diverge, justificando a resposta. Informações relevantes que tenho a partir do enunciado:
- Cada termo geral é positivo (numerador e denominador são positivos para todo
). - O denominador é o produto de termos em progressão aritmética com razão
(começando em ). - A pergunta é uma única: decidir convergência ou divergência da série e justificar.
Passo 2
Vou trabalhar com o termo geral da série e observar como ele se comporta entre
e
. Denoto o
-ésimo termo por
Repare que todos os
são positivos, o que permite usar testes que exigem positividade (por exemplo, o teste da razão).
Passo 3
Apresento o teste que vou usar (explicando bem): o teste da razão diz o seguinte. Para uma série com termos positivos
, se existir
então
- se
a série converge (convergência absoluta); - se
a série diverge; - se
o teste é inconclusivo.
A ideia intuitiva é comparar o decaimento dos termos com uma progressão geométrica: setende a um número menor que , os termos diminuem geometricamente e a soma converge.
Passo 4
Calculo a razão
. Primeiro escrevo
:
Agora formo a razão:
Passo 5
Faço as simplificações na razão: os fatores
cancelam e sobra
Passo 6
Avalio o limite da razão quando
. Uso um procedimento padrão: dividir numerador e denominador por
(ou observar o termo dominante):
Portanto o limite
do quociente é
.
Passo 7
Aplicando o teste da razão: como
, concluímos que a série converge. Intuitivamente, para
grande o termo geral
decresce aproximadamente como uma razão geométrica com razão cerca de
, então a soma se comporta como uma série geométrica convergente.
Resposta
A série converge.