Determine se a série converge ou diverge. Justifique sua resposta.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{5^{n}-2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{5^{n}-2}
converge ou diverge, e justificar a resposta. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{3}{5^{n}-2}.
  • Para todo n\ge 1 temos 5^{n}-2>0, então a_n>0 (todos os termos são positivos).
  • Não há outros dados numéricos fora a expressão do termo geral.

Passo 2

Vou lembrar um resultado básico que vamos usar: série geométrica. A série geométrica geral tem a forma
\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1},
onde a é o primeiro termo e r é a razão. Ela converge se, e somente se, |r|<1. No caso comum em que escrevemos a série como
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n},
ela converge para
\frac{r}{1-r}
quando |r|<1. Aqui r é o número que se repete multiplicando a cada termo (por exemplo r=\tfrac{1}{5} dá uma série geométrica convergente).
Explicando com calma: a é o valor do primeiro termo da série geométrica e r é o fator pelo qual cada termo é obtido a partir do anterior. Se |r|\ge 1, os termos não vão a zero e a soma diverge; se |r|<1, os termos decaem geometricamente e a soma finita existe.

Passo 3

Outro resultado útil é o teste da comparação direta (vou explicar ele bem devagar): se 0\le a_n\le b_n para todos n suficientemente grandes e a série \sum b_n converge, então a série \sum a_n também converge. A ideia intuitiva é que somar coisas menores que uma soma finita não pode dar infinito.
Como nossos termos são positivos, podemos tentar encontrar uma série geométrica maior ou menor que os termos a_n para aplicar esse teste.

Passo 4

Vamos relacionar a_n=\dfrac{3}{5^{n}-2} com uma série geométrica. Observe que, para n\ge 1,
5^{n}\ge 5^{1}=5>4,
logo 5^{n}-2 \ge 5^{n}-2 \ge \frac{1}{2}\,5^{n} é verdadeiro? Vamos mostrar isso com uma conta direta:
5^{n}-2 - \frac{1}{2}5^{n}=\frac{1}{2}5^{n}-2=\frac{5^{n}-4}{2}.
Como 5^{n}\ge 5>4 para n\ge 1, temos 5^{n}-4\ge 0, então \frac{5^{n}-4}{2}\ge 0. Portanto
5^{n}-2 \ge \frac{1}{2}5^{n}\qquad\text{para todo }n\ge 1.
A partir disso, invertendo a desigualdade (tudo positivo) obtemos
\frac{1}{5^{n}-2}\le \frac{2}{5^{n}}.
Multiplicando por 3,
\frac{3}{5^{n}-2}\le \frac{6}{5^{n}}.
Assim, para todo n\ge 1 temos 0\le a_n\le b_n, onde b_n=\dfrac{6}{5^{n}}.

Passo 5

A série dos b_n é
\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{5^{n}} = 6\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{5}\right)^{n}.
Aqui \left(\frac{1}{5}\right) é a razão geométrica, e como \left|\tfrac{1}{5}\right|<1, essa série geométrica converge. Podemos inclusive calcular sua soma:
6\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{5}\right)^{n} =6\cdot\frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}} =6\cdot\frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}} =6\cdot\frac{1}{4} =\frac{3}{2}.
Como \sum b_n converge e 0\le a_n\le b_n para todo n, pelo teste da comparação direta concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{5^{n}-2}
converge.
(Uma observação alternativa, só para reforçar: poderíamos também usar o teste da comparação por limite, calculando \lim_{n\to\infty}\dfrac{3/(5^n-2)}{3/5^n}=1, que mostra que a série tem o mesmo comportamento assintótico que \sum 3/5^n, uma geométrica convergente. Mas a prova acima já é suficiente e muito direta.)

Passo 6

Resumo final e incentivo: mostramos passo a passo que cada termo a_n é menor que um termo de uma série geométrica convergente, daí a série original converge. Tá tudo certo — respira, você já tem uma justificativa curta e rigorosa para a prova!

Resposta

A série converge.

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