Determine se a série converge ou diverge. Justifique sua resposta. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{5^{n}-2}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{5^{n}-2}
converge ou diverge, e justificar a resposta. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
O termo geral é a_n=\dfrac{3}{5^{n}-2}.
Para todo n\ge 1 temos 5^{n}-2>0, então a_n>0 (todos os termos são positivos).
Não há outros dados numéricos fora a expressão do termo geral.
Passo 2
Vou lembrar um resultado básico que vamos usar: série geométrica. A série geométrica geral tem a forma
\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1},
onde a é o primeiro termo e r é a razão. Ela converge se, e somente se, |r|<1. No caso comum em que escrevemos a série como
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n},
ela converge para
\frac{r}{1-r}
quando |r|<1. Aqui r é o número que se repete multiplicando a cada termo (por exemplo r=\tfrac{1}{5} dá uma série geométrica convergente).
Explicando com calma: a é o valor do primeiro termo da série geométrica e r é o fator pelo qual cada termo é obtido a partir do anterior. Se |r|\ge 1, os termos não vão a zero e a soma diverge; se |r|<1, os termos decaem geometricamente e a soma finita existe.
Passo 3
Outro resultado útil é o teste da comparação direta (vou explicar ele bem devagar): se 0\le a_n\le b_n para todos n suficientemente grandes e a série \sum b_n converge, então a série \sum a_n também converge. A ideia intuitiva é que somar coisas menores que uma soma finita não pode dar infinito.
Como nossos termos são positivos, podemos tentar encontrar uma série geométrica maior ou menor que os termos a_n para aplicar esse teste.
Passo 4
Vamos relacionar a_n=\dfrac{3}{5^{n}-2} com uma série geométrica. Observe que, para n\ge 1,
5^{n}\ge 5^{1}=5>4,
logo 5^{n}-2 \ge 5^{n}-2 \ge \frac{1}{2}\,5^{n} é verdadeiro? Vamos mostrar isso com uma conta direta:
Aqui \left(\frac{1}{5}\right) é a razão geométrica, e como \left|\tfrac{1}{5}\right|<1, essa série geométrica converge. Podemos inclusive calcular sua soma:
Como \sum b_n converge e 0\le a_n\le b_n para todo n, pelo teste da comparação direta concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{5^{n}-2}
converge.
(Uma observação alternativa, só para reforçar: poderíamos também usar o teste da comparação por limite, calculando \lim_{n\to\infty}\dfrac{3/(5^n-2)}{3/5^n}=1, que mostra que a série tem o mesmo comportamento assintótico que \sum 3/5^n, uma geométrica convergente. Mas a prova acima já é suficiente e muito direta.)
Passo 6
Resumo final e incentivo: mostramos passo a passo que cada termo a_n é menor que um termo de uma série geométrica convergente, daí a série original converge. Tá tudo certo — respira, você já tem uma justificativa curta e rigorosa para a prova!