converge ou diverge, e justificar a resposta. Informações dadas que vamos usar explicitamente: \displaystyle 5\left(\frac{17}{23}\right)^{n-1} é o termo geral, para n=1,2,3,\dots.
Identificamos o primeiro termo e a razão (ver passo seguinte).
Passo 2
Vamos reconhecer que a série dada é uma série geométrica padrão. Uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1},
onde a é o primeiro termo (quando n=1) e r é a razão comum. Importante: a convergência de uma série geométrica é decidida pela magnitude de r:
se |r|<1, a série converge e sua soma é
\frac{a}{1-r};
se |r|\ge 1, a série diverge.
Vou explicar por que essa fórmula vale: as somas parciais S_N são
ou seja, a série converge para \dfrac{a}{1-r}. A razão de \lim_{N\to\infty} r^{N}=0 quando |r|<1 vem do fato de que multiplicar um número com módulo menor que 1 por ele mesmo muitas vezes leva a valores cada vez menores que tendem a zero (ex.: 0{,}5^N\to 0).