Determine se a série converge ou diverge (justifique!).
\sum_{n=1}^{\infty} 5\left(\frac{17}{23}\right)^{n-1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} 5\left(\frac{17}{23}\right)^{n-1}
converge ou diverge, e justificar a resposta. Informações dadas que vamos usar explicitamente:
\displaystyle 5\left(\frac{17}{23}\right)^{n-1} é o termo geral, para n=1,2,3,\dots.
Identificamos o primeiro termo e a razão (ver passo seguinte).

Passo 2

Vamos reconhecer que a série dada é uma série geométrica padrão. Uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1},
onde a é o primeiro termo (quando n=1) e r é a razão comum. Importante: a convergência de uma série geométrica é decidida pela magnitude de r:
  • se |r|<1, a série converge e sua soma é
\frac{a}{1-r};
  • se |r|\ge 1, a série diverge.
    Vou explicar por que essa fórmula vale: as somas parciais S_N são
S_N = \sum_{n=1}^{N} a\,r^{\,n-1} = a\frac{1-r^{N}}{1-r}\quad(\text{para }r\neq 1).
Se |r|<1, então \displaystyle \lim_{N\to\infty} r^{N} = 0, logo
\lim_{N\to\infty} S_N = a\frac{1-0}{1-r}=\frac{a}{1-r},
ou seja, a série converge para \dfrac{a}{1-r}. A razão de \lim_{N\to\infty} r^{N}=0 quando |r|<1 vem do fato de que multiplicar um número com módulo menor que 1 por ele mesmo muitas vezes leva a valores cada vez menores que tendem a zero (ex.: 0{,}5^N\to 0).

Passo 3

Identificamos a e r na série dada. Comparando
\sum_{n=1}^{\infty} 5\left(\frac{17}{23}\right)^{n-1}
com \sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1}, temos a=5 e r=\dfrac{17}{23}.

Passo 4

Calculemos |r| e verifiquemos a condição de convergência:
|r|=\left|\frac{17}{23}\right|=\frac{17}{23}.
Como 17<23, temos \dfrac{17}{23}<1. Portanto |r|<1 e, pela propriedade da série geométrica, a série converge.

Passo 5

Agora calculamos a soma usando a fórmula \dfrac{a}{1-r}. Substituindo a=5 e r=\dfrac{17}{23}:
\text{soma}=\frac{5}{1-\dfrac{17}{23}}.
Compute o denominador:
1-\frac{17}{23}=\frac{23-17}{23}=\frac{6}{23}.
Portanto
\text{soma}= \frac{5}{\dfrac{6}{23}} = 5\cdot\frac{23}{6}=\frac{115}{6}.

Resposta

Converge; soma = \dfrac{115}{6}

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