Determine se a série converge ou diverge (justifique!).
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge, com justificativa. Informações dadas: somatório de
até infinito dos termos
. Não há outras condições escondidas. Observação imediata: para todo
o denominador
é positivo, então os termos
são positivos.
Passo 2
Como os termos são não-negativos, podemos usar um teste de comparação: a ideia é comparar
com uma série conhecida. Vou lembrar a versão simples do teste de comparação direta (explico o porquê): se temos duas sequências de termos não-negativos
para todo
a partir de algum ponto, e se a série
converge, então a série
também converge. Intuição: cada termo de
é menor ou igual ao termo correspondente de uma série já conhecida finita quando somada, logo as somas parciais de
ficam “presa” por cima por uma soma finita.
Passo 3
Escolho comparar com a série-p clássica
. É um fato padrão e muito útil que a série-p converge se, e somente se,
. Vou justificar rapidamente esse fato com o teste integral (para você entender): considere
. Para
tem-se
Se
então
e
quando
, logo a integral converge; se
a integral diverge. Pelo teste integral, a série-p tem o mesmo comportamento: converge se
, diverge se
. No nosso caso a escolha natural é
, porque o termo dominante do denominador é
.
Passo 4
Agora faço a comparação explícita entre os termos. Para todo
temos
(pois
). Dividindo por ambos os lados (todos positivos) obtemos
Em notação foi:
com
.
Passo 5
Como vimos no Passo 3, a série
é uma série-p com
, portanto converge. Pelo teste de comparação direta (Passo 2) — já que
para todo
— segue que a série
também converge. (Resumo da ideia: o denominador do termo geral é maior que
, então o termo é menor que
; somando esses termos menores dá uma soma finita porque
é finita.)
Resposta
A série converge.