Determine se a série converge ou diverge (justifique!).
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{3}+3 k^{2}+2 k}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{3}+3k^{2}+2k}
converge ou diverge, com justificativa. Informações dadas: somatório de k=1 até infinito dos termos a_{k}=\dfrac{1}{k^{3}+3k^{2}+2k}. Não há outras condições escondidas. Observação imediata: para todo k\ge 1 o denominador k^{3}+3k^{2}+2k é positivo, então os termos a_{k} são positivos.

Passo 2

Como os termos são não-negativos, podemos usar um teste de comparação: a ideia é comparar a_{k} com uma série conhecida. Vou lembrar a versão simples do teste de comparação direta (explico o porquê): se temos duas sequências de termos não-negativos 0\le a_{k}\le b_{k} para todo k a partir de algum ponto, e se a série \sum b_{k} converge, então a série \sum a_{k} também converge. Intuição: cada termo de a_{k} é menor ou igual ao termo correspondente de uma série já conhecida finita quando somada, logo as somas parciais de a_{k} ficam “presa” por cima por uma soma finita.

Passo 3

Escolho comparar com a série-p clássica \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{p}}. É um fato padrão e muito útil que a série-p converge se, e somente se, p>1. Vou justificar rapidamente esse fato com o teste integral (para você entender): considere \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx. Para p\neq 1 tem-se
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \lim_{T\to\infty}\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_{1}^{T}.
Se p>1 então -p+1<0 e x^{-p+1}\to 0 quando x\to\infty, logo a integral converge; se p\le 1 a integral diverge. Pelo teste integral, a série-p tem o mesmo comportamento: converge se p>1, diverge se p\le 1. No nosso caso a escolha natural é p=3, porque o termo dominante do denominador é k^{3}.

Passo 4

Agora faço a comparação explícita entre os termos. Para todo k\ge 1 temos k^{3}+3k^{2}+2k \ge k^{3} (pois 3k^{2}+2k\ge 0). Dividindo por ambos os lados (todos positivos) obtemos
\frac{1}{k^{3}+3k^{2}+2k} \le \frac{1}{k^{3}}.
Em notação foi: a_{k}\le b_{k} com b_{k}=\dfrac{1}{k^{3}}.

Passo 5

Como vimos no Passo 3, a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{3}}
é uma série-p com p=3>1, portanto converge. Pelo teste de comparação direta (Passo 2) — já que 0\le a_{k}\le b_{k} para todo k — segue que a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{3}+3k^{2}+2k}
também converge. (Resumo da ideia: o denominador do termo geral é maior que k^{3}, então o termo é menor que 1/k^{3}; somando esses termos menores dá uma soma finita porque \sum 1/k^{3} é finita.)

Resposta

A série converge.

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