Exercício 7. Considere a função 1-periódica f cuja representação em forma exponencial módulo/fase f(t)=\sum_{n \in \mathbb{N}}\left|C_{n}\right| e^{i\left(\omega n t+\phi_{n}\right)} satisfaz
\omega=2 \pi, \quad\left|C_{n}\right|=\frac{1}{2 n \pi}, \quad \quad \phi_{n}=\frac{\left(1+(-1)^{n}\right)}{2} \pi
Recupere os coeficientes a_{0}, a_{n} e b_{n} da série de Fourier de f.

Passo 1

O enunciado dá uma função 1-periódica f com representação exponencial em módulo/fase
f(t)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\left|C_{n}\right| e^{i\left(\omega n t+\phi_{n}\right)}.
As informações numéricas são
\omega=2\pi,\qquad \left|C_{n}\right|=\frac{1}{2 n \pi},\qquad \phi_{n}=\frac{1+(-1)^{n}}{2}\pi.
O que o enunciado pede: recuperar os coeficientes reais a_{0}, a_{n} e b_{n} da série de Fourier real de f.

Passo 2

Vou explicar a relação entre a forma exponencial complexa (coeficientes C_n) e a forma trigonométrica (coeficientes a_0,a_n,b_n). Adotamos a convenção padrão para período 1:
a série trigonométrica real escrita como
f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(2\pi n t)+b_{n}\sin(2\pi n t)\bigr),
e a série exponencial complexa como
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}e^{i2\pi n t}.
As fórmulas que ligam os coeficientes são (vou explicar por que depois):
C_{0}=\frac{a_{0}}{2}, \qquad C_{n}=\frac{a_{n}-i b_{n}}{2}\quad (n\ge1), \qquad C_{-n}=\frac{a_{n}+i b_{n}}{2}\quad (n\ge1).
Dessas equações seguem diretamente as relações úteis:
a_{0}=2C_{0}, \qquad a_{n}=C_{n}+C_{-n}, \qquad b_{n}=i\bigl(C_{n}-C_{-n}\bigr).
Explicação rápida do significado: C_n são os coeficientes da expansão em exponenciais complexas de frequência 2\pi n; a_n é o coeficiente do cosseno de frequência n e b_n do seno. Essas fórmulas resultam da combinação de duas exponenciais complexas para formar cosseno e seno (identidades de Euler).

Passo 3

Primeiro simplifico a fase \phi_{n}. A expressão
\phi_{n}=\frac{1+(-1)^{n}}{2}\pi
vale:
  • se n é ímpar então (-1)^{n}=-1 e \phi_{n}=0;
  • se n é par então (-1)^{n}=1 e \phi_{n}=\pi.
Logo
\phi_{n}=\begin{cases} 0,& n\\ \text{ímpar},\\[4pt] \pi,& n\\ \text{par}. \end{cases}í]

Passo 4

Agora calculo C_{n} a partir de \left|C_{n}\right| e \phi_{n}. Por definição de módulo e fase,
C_{n}=\left|C_{n}\right|e^{i\phi_{n}}=\frac{1}{2n\pi}e^{i\phi_{n}}.
Com a avaliação da fase do passo anterior temos:
  • para n ímpar: C_{n}=\dfrac{1}{2n\pi}e^{i\cdot 0}=\dfrac{1}{2n\pi} (real e positivo);
  • para n par: C_{n}=\dfrac{1}{2n\pi}e^{i\pi}=\dfrac{1}{2n\pi}\cdot(-1)=-\dfrac{1}{2n\pi} (real e negativo).
Podemos escrever de forma compacta
C_{n}=(-1)^{\,n+1}\frac{1}{2n\pi}.
Como C_{n} é real para todo n, tem-se também
C_{-n}=\overline{C_{n}}=C_{n}\quad (n\ge1).

Passo 5

Determino a_{0}. No enunciado a soma começa em n\in\mathbb{N} e não há termo constante explícito, ou seja assumimos C_{0}=0. Pela relação do passo 2,
a_{0}=2C_{0}=0.

Passo 6

Agora uso as relações do passo 2 para n\ge1. Como C_{-n}=C_{n} (coeficientes reais),
a_{n}=C_{n}+C_{-n}=2C_{n}, \qquad b_{n}=i\bigl(C_{n}-C_{-n}\bigr)=0.
Substituindo o valor de C_{n} do passo 4,
a_{n}=2\left((-1)^{\,n+1}\frac{1}{2n\pi}\right)=(-1)^{\,n+1}\frac{1}{n\pi},
e
b_{n}=0.
Se preferir escrever por paridade:
a_{n}=\begin{cases} \dfrac{1}{n\pi},& n\\ \text{ímpar},\\[6pt] -\dfrac{1}{n\pi},& n\\ \text{par}, \end{cases} \qquad b_{n}=0.í]

Passo 7

Resumo final (já calculado): a_{0}=0; para todo n\ge1, a_{n}=(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n\pi} e b_{n}=0. Vou deixar as respostas prontas para conferência.

Resposta

a_{0}=0\n
a_{n}=(-1)^{\,n+1}\dfrac{1}{n\pi}\quad (n\ge1)\n
b_{n}=0\quad (n\ge1)

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