Exercício 7. Considere a função 1-periódica f cuja representação em forma exponencial módulo/fase f(t)=\sum_{n \in \mathbb{N}}\left|C_{n}\right| e^{i\left(\omega n t+\phi_{n}\right)} satisfaz
\omega=2 \pi, \quad\left|C_{n}\right|=\frac{1}{2 n \pi}, \quad \quad \phi_{n}=\frac{\left(1+(-1)^{n}\right)}{2} \pi
Recupere os coeficientes a_{0}, a_{n} e b_{n} da série de Fourier de f.
Passo 1
O enunciado dá uma função 1-periódica f com representação exponencial em módulo/fase
f(t)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\left|C_{n}\right| e^{i\left(\omega n t+\phi_{n}\right)}.
As informações numéricas são
\omega=2\pi,\qquad \left|C_{n}\right|=\frac{1}{2 n \pi},\qquad \phi_{n}=\frac{1+(-1)^{n}}{2}\pi.
O que o enunciado pede: recuperar os coeficientes reais a_{0}, a_{n} e b_{n} da série de Fourier real de f.
Passo 2
Vou explicar a relação entre a forma exponencial complexa (coeficientes C_n) e a forma trigonométrica (coeficientes a_0,a_n,b_n). Adotamos a convenção padrão para período 1:
a série trigonométrica real escrita como
f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(2\pi n t)+b_{n}\sin(2\pi n t)\bigr),
e a série exponencial complexa como
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}e^{i2\pi n t}.
As fórmulas que ligam os coeficientes são (vou explicar por que depois):
Explicação rápida do significado: C_n são os coeficientes da expansão em exponenciais complexas de frequência 2\pi n; a_n é o coeficiente do cosseno de frequência n e b_n do seno. Essas fórmulas resultam da combinação de duas exponenciais complexas para formar cosseno e seno (identidades de Euler).