Exercício 8. Mostre que se
é uma função
-periódica e
é um deslocamento de
no tempo (ou seja, para algum
definimos
) então os coeficientes de Fourier de
e de
nas suas respectivas formas exponenciais são iguais. Em particular,
e
possuem o mesmo diagrama de amplitudes, apenas com fases distintas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte.
- Informação 1:
é uma função -periódica, isto é, para todo vale . - Informação 2: Fixamos um deslocamento temporal
e definimos por . - Pergunta: Mostrar a relação entre os coeficientes de Fourier (na forma exponencial) de
e os de . Em particular, explicar por que e têm o mesmo diagrama de amplitudes, apenas com fases diferentes.
Passo 2
Vamos escrever a forma exponencial da série de Fourier e definir as quantidades que vamos usar, explicando o que cada símbolo significa.
- A frequência angular fundamental é
. Isto significa que os termos da série usam expoentes com . - A série de Fourier exponencial de uma função
-periódica pode ser escrita (quando converge) como
onde os coeficientes
são dados por
Aqui
é o coeficiente complexo do modo
; seu módulo
é a amplitude desse modo e
é a fase.
Passo 3
Definimos agora os coeficientes de Fourier de
. Pelo mesmo procedimento,
é o coeficiente exponencial do modo
para
. Como
, temos
Vou explicar passo a passo como simplificar essa integral.
Passo 4
Fazer a substituição de variável para simplificar a integral. Seja
. Então
e
. Quando
percorre o intervalo
,
percorre
. Substituindo na expressão de
obtemos
Agora separamos o fator que depende de
:
Como
não depende de
, podemos tirá-lo fora da integral:
Passo 5
Usar a periodicidade para ajustar os limites da integral ao intervalo padrão
. A função
é
-periódica e
também é
-periódica (pois
e
). Portanto o produto
é periódico de período
. Uma propriedade importante: a integral de uma função
-periódica sobre qualquer intervalo de comprimento
é igual à integral sobre
. Assim
Mas o lado direito é exatamente
pela definição do coeficiente de
. Substituindo isso em
obtemos a relação desejada:
Passo 6
Interprete o resultado:
.
- O fator
é um número complexo de módulo (porque ). Portanto os módulos satisfazem
Isto mostra que os diagramas de amplitudes (gráficos de
contra
) de
e
são idênticos: o deslocamento no tempo não altera amplitudes dos modos.
- A fase é alterada:
. Ou seja, cada modo tem a fase deslocada em .
Um exemplo rápido para fixar a ideia: se
então os únicos coeficientes não nulos são
(reais, sem fase). Para
os coeficientes são
: o módulo continua
e a fase de cada coeficiente foi alterada por
.
Passo 7
Resumo amigável e motivacional: a conta essencial é apenas a mudança de variável e usar a periodicidade para realinhar os limites. Não se assuste — na prova você pode reproduzir esses passos claros: escrever definição dos coeficientes, substituir
, mudar variável
, e usar periodicidade. Pronto, está demonstrado que o deslocamento no tempo só introduz um fator de fase por modo, preservando as amplitudes.