Exercício 8. Mostre que se f é uma função T-periódica e g é um deslocamento de f no tempo (ou seja, para algum L \in \mathbb{R} definimos g(t)=f(t-L) ) então os coeficientes de Fourier de f e de g nas suas respectivas formas exponenciais são iguais. Em particular, f e g possuem o mesmo diagrama de amplitudes, apenas com fases distintas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte.
  • Informação 1: f é uma função T-periódica, isto é, para todo t vale f(t+T)=f(t).
  • Informação 2: Fixamos um deslocamento temporal L\in\mathbb{R} e definimos g por g(t)=f(t-L).
  • Pergunta: Mostrar a relação entre os coeficientes de Fourier (na forma exponencial) de f e os de g. Em particular, explicar por que f e g têm o mesmo diagrama de amplitudes, apenas com fases diferentes.

Passo 2

Vamos escrever a forma exponencial da série de Fourier e definir as quantidades que vamos usar, explicando o que cada símbolo significa.
  • A frequência angular fundamental é \omega_0=\dfrac{2\pi}{T}. Isto significa que os termos da série usam expoentes e^{i n \omega_0 t} com n\in\mathbb{Z}.
  • A série de Fourier exponencial de uma função T-periódica f pode ser escrita (quando converge) como
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega_0 t},
onde os coeficientes c_n são dados por
c_n=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t)\, e^{-i n \omega_0 t}\, dt.
Aqui c_n é o coeficiente complexo do modo n; seu módulo |c_n| é a amplitude desse modo e \arg(c_n) é a fase.

Passo 3

Definimos agora os coeficientes de Fourier de g. Pelo mesmo procedimento,
d_n=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} g(t)\, e^{-i n \omega_0 t}\, dt
é o coeficiente exponencial do modo n para g. Como g(t)=f(t-L), temos
d_n=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t-L)\, e^{-i n \omega_0 t}\, dt.
Vou explicar passo a passo como simplificar essa integral.

Passo 4

Fazer a substituição de variável para simplificar a integral. Seja u=t-L. Então t=u+L e dt=du. Quando t percorre o intervalo [0,T], u percorre [-L,T-L]. Substituindo na expressão de d_n obtemos
d_n=\frac{1}{T}\int_{-L}^{T-L} f(u)\, e^{-i n \omega_0 (u+L)}\, du.
Agora separamos o fator que depende de L:
d_n=\frac{1}{T}\int_{-L}^{T-L} f(u)\, e^{-i n \omega_0 u}\, e^{-i n \omega_0 L}\, du.
Como e^{-i n \omega_0 L} não depende de u, podemos tirá-lo fora da integral:
d_n = e^{-i n \omega_0 L}\,\frac{1}{T}\int_{-L}^{T-L} f(u)\, e^{-i n \omega_0 u}\, du.

Passo 5

Usar a periodicidade para ajustar os limites da integral ao intervalo padrão [0,T]. A função f(u) é T-periódica e e^{-i n \omega_0 u} também é T-periódica (pois \omega_0 T=2\pi e e^{-i n \omega_0 (u+T)}=e^{-i n \omega_0 u}). Portanto o produto f(u)e^{-i n \omega_0 u} é periódico de período T. Uma propriedade importante: a integral de uma função T-periódica sobre qualquer intervalo de comprimento T é igual à integral sobre [0,T]. Assim
\frac{1}{T}\int_{-L}^{T-L} f(u)\, e^{-i n \omega_0 u}\, du = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(u)\, e^{-i n \omega_0 u}\, du.
Mas o lado direito é exatamente c_n pela definição do coeficiente de f. Substituindo isso em d_n obtemos a relação desejada:
d_n = e^{-i n \omega_0 L}\, c_n.

Passo 6

Interprete o resultado: d_n = e^{-i n \omega_0 L} c_n.
  • O fator e^{-i n \omega_0 L} é um número complexo de módulo 1 (porque |e^{-i n \omega_0 L}|=1). Portanto os módulos satisfazem
|d_n| = |e^{-i n \omega_0 L}|\;|c_n| = |c_n|.
Isto mostra que os diagramas de amplitudes (gráficos de |c_n| contra n) de f e g são idênticos: o deslocamento no tempo não altera amplitudes dos modos.
  • A fase é alterada: \arg(d_n)=\arg(c_n)-n \omega_0 L. Ou seja, cada modo n tem a fase deslocada em -n\omega_0 L.
Um exemplo rápido para fixar a ideia: se f(t)=\cos(\omega_0 t) então os únicos coeficientes não nulos são c_{1}=c_{-1}=\tfrac{1}{2} (reais, sem fase). Para g(t)=f(t-L)=\cos(\omega_0 (t-L)) os coeficientes são d_{\pm1}=e^{\mp i \omega_0 L}\tfrac{1}{2}: o módulo continua \tfrac{1}{2} e a fase de cada coeficiente foi alterada por \mp \omega_0 L.

Passo 7

Resumo amigável e motivacional: a conta essencial é apenas a mudança de variável e usar a periodicidade para realinhar os limites. Não se assuste — na prova você pode reproduzir esses passos claros: escrever definição dos coeficientes, substituir g(t)=f(t-L), mudar variável u=t-L, e usar periodicidade. Pronto, está demonstrado que o deslocamento no tempo só introduz um fator de fase por modo, preservando as amplitudes.

Resposta

d_n = e^{-i n \omega_0 L}\, c_n, com \omega_0=\dfrac{2\pi}{T}.\n |d_n|=|c_n| para todo n (mesmo diagrama de amplitudes) e \arg(d_n)=\arg(c_n)-n\omega_0 L (fases deslocadas).

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