converge ou diverge, com justificativa. Informações relevantes do enunciado:
A expressão envolve \ln(n) e \ln[\ln(n)].
\ln(1)=0, então o termo para n=1 não está definido.
\ln[\ln(n)] só é positivo (e bem definido no sentido de denominador positivo) para n>e. Para inteiros, o primeiro n com \ln[\ln(n)]>0 é n=3, pois \ln(3)>1 e \ln[\ln(3)]>0.
Conclusão do passo: vamos analisar a série a partir de n=3, já que os primeiros termos (finitos) não afetam a convergência do resto da série.
Passo 2
Escolha do método: vou usar o Teste da Integral (Integral Test). Motivo (curto e direto): os termos são positivos a partir de n=3 e a função correspondente contínua e decrescente para x grande; o teste transforma a questão de soma em questão sobre a integral imprópria, que aqui é simples de avaliar por substituição. Lembre-se: se a integral imprópria diverge, a série também diverge; se a integral converge, a série converge.
Preciso checar as hipóteses do Teste da Integral: f deve ser positiva, contínua e decrescente em [3,\infty).
Positividade: para x\ge 3 temos \ln(x)>0 e \ln[\ln(x)]>0, logo f(x)>0.
Continuidade: f é composição de funções contínuas em x\ge3 (exceção em pontos onde denominador zero, mas aí não ocorrem para x\ge3), então f é contínua em [3,\infty).
Falta mostrar que f é decrescente em [3,\infty).
Passo 4
Mostro que f é decrescente para x\ge 3 calculando a derivada. Escrevo f(x) = [g(x)]^{-1} com
Explicando cada termo: produto de três fatores; aplicando a regra do produto obtemos a soma das derivadas de cada fator multiplicada pelos outros dois; a derivada de x é 1, a de \ln x é 1/x que ao multiplicar por x dá 1, e a de \ln[\ln x] é 1/(x\ln x) que ao multiplicar por x\ln x dá 1. Portanto obtemos a expressão acima. Para x\ge 3 temos \ln x>1 e \ln[\ln x]>0, então cada parcela torna g'(x)>0. Assim g é crescente para x\ge3. Como
f'(x) = -\frac{g'(x)}{[g(x)]^{2}},
segundo a regra da derivada de g^{-1}, segue que f'(x)<0 para x\ge3. Conclusão: f é decrescente em [3,\infty). Todas as hipóteses do Teste da Integral estão verificadas.
Passo 5
Aplico o Teste da Integral: a série \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n) \ln[\ln(n)]} e a integral imprópria
\int_{3}^{\infty} \frac{dx}{x\ln x\ln[\ln x]}
têm o mesmo comportamento (convergência ou divergência). Agora calculo a integral.
Passo 6
Faço a substituição natural para a integral: defina
u=\ln[\ln x].
Então
du=\frac{1}{x\ln x}\,dx,
portanto
\frac{dx}{x\ln x\ln[\ln x]} = \frac{du}{u}.
Os limites: quando x=3 temos u=\ln[\ln 3]; quando x\to\infty temos \ln x\to\infty e então u=\ln[\ln x]\to\infty. Assim
também diverge. Como os termos para n=1,2 são apenas um número finito de termos (além de não estarem todos definidos), isso não altera o resultado de convergência/divergência da série completa começando em n=1. Portanto a série original diverge.