Determine se a série converge ou diverge (justifique!).
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln (n) \ln [\ln (n)]}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n) \ln[\ln(n)]}
converge ou diverge, com justificativa. Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão envolve \ln(n) e \ln[\ln(n)].
  • \ln(1)=0, então o termo para n=1 não está definido.
  • \ln[\ln(n)] só é positivo (e bem definido no sentido de denominador positivo) para n>e. Para inteiros, o primeiro n com \ln[\ln(n)]>0 é n=3, pois \ln(3)>1 e \ln[\ln(3)]>0.
    Conclusão do passo: vamos analisar a série a partir de n=3, já que os primeiros termos (finitos) não afetam a convergência do resto da série.

Passo 2

Escolha do método: vou usar o Teste da Integral (Integral Test). Motivo (curto e direto): os termos são positivos a partir de n=3 e a função correspondente contínua e decrescente para x grande; o teste transforma a questão de soma em questão sobre a integral imprópria, que aqui é simples de avaliar por substituição. Lembre-se: se a integral imprópria diverge, a série também diverge; se a integral converge, a série converge.

Passo 3

Defino a função associada à série:
f(x) = \frac{1}{x \ln(x) \ln[\ln(x)]},\qquad x\ge 3.
Preciso checar as hipóteses do Teste da Integral: f deve ser positiva, contínua e decrescente em [3,\infty).
  • Positividade: para x\ge 3 temos \ln(x)>0 e \ln[\ln(x)]>0, logo f(x)>0.
  • Continuidade: f é composição de funções contínuas em x\ge3 (exceção em pontos onde denominador zero, mas aí não ocorrem para x\ge3), então f é contínua em [3,\infty).
    Falta mostrar que f é decrescente em [3,\infty).

Passo 4

Mostro que f é decrescente para x\ge 3 calculando a derivada. Escrevo f(x) = [g(x)]^{-1} com
g(x)=x\ln(x)\ln[\ln(x)].
Derivando g:
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(x\ln x\ln[\ln x]\big) = \ln x\ln[\ln x] + \ln[\ln x] + 1.
Explicando cada termo: produto de três fatores; aplicando a regra do produto obtemos a soma das derivadas de cada fator multiplicada pelos outros dois; a derivada de x é 1, a de \ln x é 1/x que ao multiplicar por x 1, e a de \ln[\ln x] é 1/(x\ln x) que ao multiplicar por x\ln x 1. Portanto obtemos a expressão acima. Para x\ge 3 temos \ln x>1 e \ln[\ln x]>0, então cada parcela torna g'(x)>0. Assim g é crescente para x\ge3. Como
f'(x) = -\frac{g'(x)}{[g(x)]^{2}},
segundo a regra da derivada de g^{-1}, segue que f'(x)<0 para x\ge3. Conclusão: f é decrescente em [3,\infty). Todas as hipóteses do Teste da Integral estão verificadas.

Passo 5

Aplico o Teste da Integral: a série \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n) \ln[\ln(n)]} e a integral imprópria
\int_{3}^{\infty} \frac{dx}{x\ln x\ln[\ln x]}
têm o mesmo comportamento (convergência ou divergência). Agora calculo a integral.

Passo 6

Faço a substituição natural para a integral: defina
u=\ln[\ln x].
Então
du=\frac{1}{x\ln x}\,dx,
portanto
\frac{dx}{x\ln x\ln[\ln x]} = \frac{du}{u}.
Os limites: quando x=3 temos u=\ln[\ln 3]; quando x\to\infty temos \ln x\to\infty e então u=\ln[\ln x]\to\infty. Assim
\int_{3}^{\infty} \frac{dx}{x\ln x\ln[\ln x]} = \int_{\ln[\ln 3]}^{\infty} \frac{du}{u}.
A integral \int_{a}^{\infty} \frac{du}{u} (com a>0) é
\int_{a}^{\infty}\frac{du}{u} = \lim_{T\to\infty} \ln(u)\Big|_{u=a}^{u=T} = \lim_{T\to\infty} \big(\ln T - \ln a\big) = +\infty,
ou seja, diverge (é a famosa integral do tipo logaritmo).

Passo 7

Pelo Teste da Integral, como a integral imprópria diverge, a série
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n) \ln[\ln(n)]}
também diverge. Como os termos para n=1,2 são apenas um número finito de termos (além de não estarem todos definidos), isso não altera o resultado de convergência/divergência da série completa começando em n=1. Portanto a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

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