Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2 n^{2}-3 n-5};

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n^{2}-3n-5}
usando o teste da comparação. O que precisamos lembrar é que, para séries de termos positivos que decaem como 1/n^{p}, com p>1, a série converge (p-série).

Passo 2

Como para n grande o termo geral
\frac{1}{2n^{2}-3n-5}
comporta-se como 1/n^{2}, vamos comparar com a p-série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\,,
que é convergente pois p=2>1.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação por limite, definindo
\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2n^{2}-3n-5}\quad\text{e}\quad b_{n}=\frac{1}{n^{2}}.
Calculamos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{2n^{2}-3n-5}}{\frac{1}{n^{2}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{2n^{2}-3n-5} =\frac{1}{2}.
Como 0<L<\infty, pelo teste da comparação por limite a série \sum a_{n} e a p-série \sum b_{n} têm o mesmo comportamento de convergência.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n^{2}-3n-5}
converge pelo teste da comparação (limite) com a p-série de grau 2.

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