Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{2 n^{2}+3 n-5};

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2n^{2} + 3n - 5}
utilizando o teste da comparação. O conteúdo envolvido é séries numéricas e, em particular, comparação com uma série p-série.

Passo 2

Lembramos que a p-série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Aqui vamos comparar com a caso p=2, já que esperamos que o termo geral de nossa série se comporte como 1/n^2 para n grande.

Passo 3

Para n\ge2 temos
2n^{2}+3n-5 \;\ge\; 2n^{2},
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\frac{1}{2n^{2}+3n-5} \;\le\; \frac{1}{2n^{2}} = \frac{1}{2}\,\frac{1}{n^{2}}.
Como \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} converge p=2>1, então
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2}\,\frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{2}\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
também converge.

Passo 4

Pelo teste da comparação direta, tendo
0 \le \frac{1}{2n^{2}+3n-5} \le \frac{1}{2}\,\frac{1}{n^{2}}
e sabendo que \sum \frac{1}{2}\,\frac{1}{n^{2}} converge, concluímos que a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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