Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informação dada: o termo geral é
. A tarefa é analisar o comportamento da soma infinita desses termos e concluir sobre convergência (ou divergência).
Passo 2
Primeiro vou simplificar o termo geral para facilitar os cálculos. Note que
logo podemos cancelar
em numerador e denominador. Assim:
Essa forma é mais clara e mostra que cada termo é do tipo "um sobre
vezes um fator polinomial em
".
Passo 3
Agora escolho um método para testar convergência. Opções típicas: teste da razão, comparação com séries conhecidas (geométrica ou p-series), teste da raiz, etc. Aqui a presença de
no denominador sugere que a série decresce geometricamente em relação a
, então tanto o teste da razão quanto uma comparação com uma série geométrica são naturais e simples. Vou aplicar o teste da razão porque ele fornece um limite claro e direto quando aparecem potências como
.
Passo 4
Vou lembrar rapidamente o enunciado do teste da razão (explicando didaticamente): para uma série de termos positivos
, calcule
- Se
, a série converge (convergência absoluta). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui todos os
são positivos, então o teste é aplicável.
Passo 5
Calculo
a partir da forma simplificada:
Agora monto a razão
e simplifico passo a passo:
Agora cancelei fatores óbvios:
com parte de
e
com
. Isso fica
Passo 6
Calculamos o limite quando
:
Para ver o comportamento dividimos numerador e denominador por
:
Como
, o teste da razão garante que a série converge. Mais: por ser positivo e o teste da razão dar
, a convergência é absoluta (embora todos os termos já sejam positivos, “absoluta” é só um reforço).
Passo 7
Para fixar a intuição: a presença de
no denominador faz os termos caírem, em ordem de grandeza, como uma geometricidade com razão
, enquanto o fator
só reduz ainda mais cada termo. Uma comparação simples alternativa é observar que para todo
vale
, logo
E como
é uma série geométrica convergente, a comparação direta já garantiria a convergência da nossa série. Isso confirma a conclusão obtida pelo teste da razão.
Passo 8
Conclusão final: a série é convergente (e, de fato, converge absolutamente).
Resposta
A série converge (convergência absoluta).