Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^{n}(2+n)!}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^{n}(2+n)!}
converge ou diverge. Informação dada: o termo geral é a_n=\dfrac{n!}{2^{n}(n+2)!}. A tarefa é analisar o comportamento da soma infinita desses termos e concluir sobre convergência (ou divergência).

Passo 2

Primeiro vou simplificar o termo geral para facilitar os cálculos. Note que
(n+2)!=(n+2)(n+1)n!,
logo podemos cancelar n! em numerador e denominador. Assim:
a_n=\frac{n!}{2^{n}(n+2)!}=\frac{n!}{2^{n}(n+2)(n+1)n!}=\frac{1}{2^{n}(n+1)(n+2)}.
Essa forma é mais clara e mostra que cada termo é do tipo "um sobre 2^n vezes um fator polinomial em n".

Passo 3

Agora escolho um método para testar convergência. Opções típicas: teste da razão, comparação com séries conhecidas (geométrica ou p-series), teste da raiz, etc. Aqui a presença de 2^{n} no denominador sugere que a série decresce geometricamente em relação a n, então tanto o teste da razão quanto uma comparação com uma série geométrica são naturais e simples. Vou aplicar o teste da razão porque ele fornece um limite claro e direto quando aparecem potências como 2^{n}.

Passo 4

Vou lembrar rapidamente o enunciado do teste da razão (explicando didaticamente): para uma série de termos positivos \sum a_n, calcule
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Se L<1, a série converge (convergência absoluta).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui todos os a_n são positivos, então o teste é aplicável.

Passo 5

Calculo a_{n+1} a partir da forma simplificada:
a_{n+1}=\frac{1}{2^{\,n+1}(n+2)(n+3)}.
Agora monto a razão a_{n+1}/a_n e simplifico passo a passo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{1}{2^{\,n+1}(n+2)(n+3)}}{\dfrac{1}{2^{\,n}(n+1)(n+2)}} = \frac{1}{2^{\,n+1}(n+2)(n+3)}\cdot\frac{2^{\,n}(n+1)(n+2)}{1}.
Agora cancelei fatores óbvios: 2^{\,n} com parte de 2^{\,n+1} e (n+2) com (n+2). Isso fica
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{2}\cdot\frac{n+1}{n+3}=\frac{n+1}{2(n+3)}.

Passo 6

Calculamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2(n+3)}.
Para ver o comportamento dividimos numerador e denominador por n:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\tfrac{1}{n}}{2\bigl(1+\tfrac{3}{n}\bigr)}=\frac{1}{2}.
Como L=\dfrac{1}{2}<1, o teste da razão garante que a série converge. Mais: por ser positivo e o teste da razão dar L<1, a convergência é absoluta (embora todos os termos já sejam positivos, “absoluta” é só um reforço).

Passo 7

Para fixar a intuição: a presença de 2^{n} no denominador faz os termos caírem, em ordem de grandeza, como uma geometricidade com razão 1/2, enquanto o fator (n+1)(n+2) só reduz ainda mais cada termo. Uma comparação simples alternativa é observar que para todo n\ge1 vale (n+1)(n+2)\ge 1, logo
0\le a_n=\frac{1}{2^{n}(n+1)(n+2)}\le\frac{1}{2^{n}}.
E como \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2^{n}} é uma série geométrica convergente, a comparação direta já garantiria a convergência da nossa série. Isso confirma a conclusão obtida pelo teste da razão.

Passo 8

Conclusão final: a série é convergente (e, de fato, converge absolutamente).

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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