Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1) 2^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)\,2^{n+1}}
converge ou diverge. Informações relevantes dadas:
  1. Os termos gerais são a_n=\dfrac{1}{(n+1)\,2^{n+1}} para n\ge 1.
  2. Todos os termos são positivos, isto é, a_n>0 para todo n.
  3. A série começa em n=1 e vai até o infinito.
    Nenhuma outra informação é dada no enunciado.

Passo 2

Vamos comparar essa série com uma série geométrica mais simples para decidir a convergência. Primeiro faço uma observação simples sobre os termos: para todo n\ge 1 vale (n+1)\ge 1, portanto
(n+1)\,2^{n+1} \ge 2^{n+1}.
Dividindo ambos os lados por (n+1)2^{n+1} (positivo) obtemos
\frac{1}{(n+1)\,2^{n+1}} \le \frac{1}{2^{n+1}}.
Ou seja, a_n \le b_n com b_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}.

Passo 3

Agora uso o teste da comparação (versão direta): se 0\le a_n\le b_n para todo n suficientemente grande e a série \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. A série \sum_{n=1}^{\infty} b_n=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^{n+1}} é uma série geométrica com razão r=\dfrac{1}{2} (pois \dfrac{1}{2^{n+1}}=(1/2)^{n+1}). Lembrando o critério da série geométrica: a série \sum_{n=0}^\infty ar^n converge se, e somente se, |r|<1. Como |r|=\tfrac{1}{2}<1, a série geométrica converge. Portanto, pela comparação, a série original \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{(n+1)2^{n+1}} também converge.

Passo 4

Como você é prático e gosta de ver o valor, vou achar a soma exata da série (isso confirma a convergência mostrando que a soma é finita). Para isso uso uma identidade conhecida (e fácil de obter): para |x|<1,
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k} = -\ln(1-x).
Breve justificativa didática dessa identidade: começamos da série geométrica
\sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1-x}\quad(|x|<1).
Integrando termo a termo de 0 a x (válido para |x|<1) obtemos
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k} = \int_{0}^{x} \frac{1}{1-t}\,dt = -\ln(1-x).
Tudo bem até aqui? Ótimo.

Passo 5

A série que temos é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)\,2^{n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/2)^{n+1}}{n+1}.
Faço a mudança de índice m=n+1. Quando n=1 temos m=2, e quando n\to\infty temos m\to\infty. Assim
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/2)^{n+1}}{n+1} = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{(1/2)^{m}}{m}.
Essa soma é a soma de m de 1 a \infty menos o termo m=1:
\sum_{m=2}^{\infty} \frac{(1/2)^{m}}{m} = \left(\sum_{m=1}^{\infty} \frac{(1/2)^{m}}{m}\right) - \frac{(1/2)^{1}}{1}.
Aplicando a identidade do Passo 4 com x=\tfrac{1}{2} (que satisfaz |x|<1) temos
\sum_{m=1}^{\infty} \frac{(1/2)^{m}}{m} = -\ln\!\left(1-\tfrac{1}{2}\right) = -\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = \ln 2.
Portanto
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)\,2^{n+1}} = \ln 2 - \frac{1}{2}.

Passo 6

Resumo didático e final: pela comparação com a série geométrica de razão \tfrac{1}{2} concluímos que a série converge. Além disso, usando a identidade de séries de potências, encontramos a soma exata \ln 2 - \tfrac{1}{2}. Vai dar tudo certo na prova — você já tem a técnica básica (comparação com geometricas) e uma forma elegante de calcular somas quando aparecerem termos do tipo x^n/n.

Resposta

A série converge; sua soma é \ln 2 - \tfrac{1}{2}.

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