Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações relevantes dadas:
- Os termos gerais são
para . - Todos os termos são positivos, isto é,
para todo . - A série começa em
e vai até o infinito.
Nenhuma outra informação é dada no enunciado.
Passo 2
Vamos comparar essa série com uma série geométrica mais simples para decidir a convergência. Primeiro faço uma observação simples sobre os termos: para todo
vale
, portanto
Dividindo ambos os lados por
(positivo) obtemos
Ou seja,
com
.
Passo 3
Agora uso o teste da comparação (versão direta): se
para todo
suficientemente grande e a série
converge, então
também converge. A série
é uma série geométrica com razão
(pois
). Lembrando o critério da série geométrica: a série
converge se, e somente se,
. Como
, a série geométrica converge. Portanto, pela comparação, a série original
também converge.
Passo 4
Como você é prático e gosta de ver o valor, vou achar a soma exata da série (isso confirma a convergência mostrando que a soma é finita). Para isso uso uma identidade conhecida (e fácil de obter): para
,
Breve justificativa didática dessa identidade: começamos da série geométrica
Integrando termo a termo de
a
(válido para
) obtemos
Tudo bem até aqui? Ótimo.
Passo 5
A série que temos é
Faço a mudança de índice
. Quando
temos
, e quando
temos
. Assim
Essa soma é a soma de
de
a
menos o termo
:
Aplicando a identidade do Passo 4 com
(que satisfaz
) temos
Portanto
Passo 6
Resumo didático e final: pela comparação com a série geométrica de razão
concluímos que a série converge. Além disso, usando a identidade de séries de potências, encontramos a soma exata
. Vai dar tudo certo na prova — você já tem a técnica básica (comparação com geometricas) e uma forma elegante de calcular somas quando aparecerem termos do tipo
.
Resposta
A série converge; sua soma é
.