Determine se a série converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge.
Informações dadas:
converge ou diverge.
Informações dadas:
- A soma é para
indo de até infinito. - O termo geral é
.
Passo 2
Intuição inicial (comentar o comportamento para grandes
).
Quando é grande, os termos de maior grau do numerador e do denominador dominam. Aqui o numerador tem grau
(
) e o denominador grau
(
), então esperamos que, para
grande,
Quando
A série
é a série harmônica, que é famosa e diverge. Vou usar um teste que formaliza essa comparação (para não ficar só na intuição).
Passo 3
Apresentar o teste que vou usar (Limit Comparison Test) e por que ele vale aqui.
O Teste da Comparação por Limite diz: se e
são sequências de termos positivos e
O Teste da Comparação por Limite diz: se
com
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
Escolho (a harmônica) porque, pela observação do passo anterior,
tem comportamento parecido com
quando
cresce.
Escolho
Passo 4
Calcular o limite
.
Escrevendo explicitamente:
Escrevendo explicitamente:
Para calcular
, divido numerador e denominador por
:
Como
quando
, segue que
Portanto o limite
é
, que é um número positivo e finito.
Passo 5
Aplicar o resultado do teste e concluir.
Como obtivemos
Como obtivemos
pelo Teste da Comparação por Limite a série
tem o mesmo comportamento que
. Sabendo que a série harmônica
(e portanto
) diverge, concluímos que a série dada também diverge.
Resposta
Diverge.