Determine se a série converge ou diverge:
\sum_{n=4}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{3}-3};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\displaystyle\sum_{n=4}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{3}-3}
converge ou diverge.
Informações dadas:
  • A soma é para n indo de 4 até infinito.
  • O termo geral é \displaystyle a_{n}=\frac{n^{2}}{n^{3}-3}.

Passo 2

Intuição inicial (comentar o comportamento para grandes n).
Quando n é grande, os termos de maior grau do numerador e do denominador dominam. Aqui o numerador tem grau 2 ( n^{2}) e o denominador grau 3 ( n^{3}), então esperamos que, para n grande,
a_{n}\approx \frac{n^{2}}{n^{3}}=\frac{1}{n}.
A série \displaystyle\sum \frac{1}{n} é a série harmônica, que é famosa e diverge. Vou usar um teste que formaliza essa comparação (para não ficar só na intuição).

Passo 3

Apresentar o teste que vou usar (Limit Comparison Test) e por que ele vale aqui.
O Teste da Comparação por Limite diz: se \{a_n\} e \{b_n\} são sequências de termos positivos e
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L,
com 0<L<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
Escolho b_n=\dfrac{1}{n} (a harmônica) porque, pela observação do passo anterior, a_n tem comportamento parecido com 1/n quando n cresce.

Passo 4

Calcular o limite \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}.
Escrevendo explicitamente:
\frac{a_n}{b_n} = \frac{\dfrac{n^{2}}{n^{3}-3}}{\dfrac{1}{n}} = \frac{n^{2}}{n^{3}-3}\cdot n = \frac{n^{3}}{n^{3}-3}.
Para calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{n^{3}-3}, divido numerador e denominador por n^{3}:
\frac{n^{3}}{n^{3}-3} = \frac{1}{1-\dfrac{3}{n^{3}}}.
Como \dfrac{3}{n^{3}}\to 0 quando n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{n^{3}-3}= \frac{1}{1-0}=1.
Portanto o limite L é 1, que é um número positivo e finito.

Passo 5

Aplicar o resultado do teste e concluir.
Como obtivemos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1\in(0,\infty),
pelo Teste da Comparação por Limite a série \displaystyle\sum a_n tem o mesmo comportamento que \displaystyle\sum b_n. Sabendo que a série harmônica \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} (e portanto \displaystyle\sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{n}) diverge, concluímos que a série dada também diverge.

Resposta

Diverge.

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