Determine se a série converge ou diverge: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{3+5 n};
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{3+5n}
converge ou diverge. Informações relevantes que temos:
Cada termo geral é positivo para todo n\ge0: \dfrac{2}{3+5n}>0.
O índice começa em n=0, mas isso só afeta um número finito de termos; a convergência depende do comportamento quando n\to\infty.
Para grandes n, o denominador (3+5n) comporta-se como 5n, então intuitivamente os termos são comparáveis a uma constante vezes 1/n.
Passo 2
Vou usar o Teste da Comparação por Limite (limit comparison) com a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}. Explicação do porquê: a série harmônica é um exemplo básico de série divergente e os termos da nossa série têm ordem assintótica \sim \dfrac{\text{const}}{n}. O Teste da Comparação por Limite é um método eficiente para formalizar essa ideia.
Passo 3
Enunciado do Teste da Comparação por Limite (explicado):
Sejam a_n>0 e b_n>0 para todo n. Se existir o limite finito
\ell=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
com 0<\ell<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
Aqui a_n será o nosso termo \dfrac{2}{3+5n} e b_n será \dfrac{1}{n} (ou, se preferir tecnicamente exato para incluir n=0, usar b_n=1/(n+1); o resultado é o mesmo porque o comportamento assintótico é idêntico).
Passo 4
Calculo do limite do quociente entre os termos (uso n\to\infty, e considero n\ge1):
Logo o limite existe e é \ell=\dfrac{2}{5}, com 0<\ell<\infty.
Passo 5
Como o limite \ell=\dfrac{2}{5} é positivo e finito, pelo Teste da Comparação por Limite a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2}{3+5n} e a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} têm o mesmo destino (convergência/divergência).
Lembrete (por que a série harmônica diverge): a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é conhecida por divergir. Uma justificativa rápida é o Teste da Integral: a integral
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx
é divergente (vai para +\infty), e para funções positivas e decrescentes a divergência da integral implica a divergência da série. Portanto \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge.
Passo 6
Da comparação por limite (Passo 4) e da divergência da série harmônica (Passo 5), conclui-se que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3+5n}
diverge. Acrescentando o termo n=0 (que é \dfrac{2}{3}) não altera a divergência: uma série que difere por um número finito de termos mantém o mesmo comportamento quanto à convergência.