Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=0}^{+\infty} 3^{2+n} \cdot 2^{1-3 n};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série é convergente ou divergente. A série dada é
\sum_{n=0}^{+\infty} 3^{2+n}\cdot 2^{1-3n}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • O somatório vai de n=0 até n\to+\infty.
  • O termo geral é 3^{2+n}\cdot 2^{1-3n}.
  • Não há outras condições adicionais no enunciado.

Passo 2

Vamos escrever o termo geral de forma mais simples, usando propriedades de potências. Regras que vou usar (pequena aula rápida):
  • Para quaisquer bases e expoentes, a^{b+c}=a^b\cdot a^c.
  • Para um produto de potências com expoente comum (xy)^n = x^n y^n.
  • Para potência de potência (a^k)^n = a^{kn}.
    Agora aplico essas regras ao termo 3^{2+n}\cdot 2^{1-3n}.
Primeiro, separamos as partes constantes e as que dependem de n:
3^{2+n}\cdot 2^{1-3n} = 3^2\cdot 3^n \cdot 2^1\cdot 2^{-3n}.
Agrupando constantes:
3^2\cdot 2^1 = 9\cdot 2 = 18.
E agrupando a parte que depende de n:
3^n\cdot 2^{-3n} = \left(3\cdot 2^{-3}\right)^n.
Como 2^{-3}=\dfrac{1}{8}, temos 3\cdot 2^{-3}=\dfrac{3}{8}. Portanto o termo geral fica
a_n = 18\left(\dfrac{3}{8}\right)^n.

Passo 3

Agora reconhecemos a forma da série. Uma série da forma
\sum_{n=0}^{+\infty} a\, r^n
é chamada série geométrica com primeiro termo (quando n=0) igual a a (ou coeficiente multiplicativo) e razão igual a r. Propriedade fundamental da série geométrica:
  • Se |r|<1, a série converge e sua soma é
\sum_{n=0}^{+\infty} a\, r^n = \dfrac{a}{1-r}.
  • Se |r|\ge 1, a série diverge.
No nosso caso identificamos a=18 e r=\dfrac{3}{8}.

Passo 4

Verificamos a condição de convergência:
\left|r\right| = \left|\dfrac{3}{8}\right| = \dfrac{3}{8}.
Como \dfrac{3}{8}<1, a série geométrica converge.
Também é útil conferir o primeiro termo para coerência: para n=0,
a_0 = 18\left(\dfrac{3}{8}\right)^0 = 18,
o que coincide com calcular diretamente 3^{2+0}\cdot 2^{1-0}=9\cdot2=18.

Passo 5

Agora calculamos a soma da série convergente usando a fórmula da geométrica:
\sum_{n=0}^{+\infty} 18\left(\dfrac{3}{8}\right)^n = \dfrac{18}{1-\tfrac{3}{8}}.
Calculemos o denominador:
1-\dfrac{3}{8} = \dfrac{8}{8}-\dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8}.
Portanto
\dfrac{18}{1-\tfrac{3}{8}} = \dfrac{18}{\tfrac{5}{8}} = 18\cdot \dfrac{8}{5} = \dfrac{144}{5}.

Resposta

Converge, soma \dfrac{144}{5}

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