Determine se a série converge ou diverge.
sumk=1^infty (2 k-1)(k^2-1)(k+1)(k^2+4)^2

Passo 1

Temos a série sumk=1^infty (2k-1)(k^2-1)(k+1)(k^2+4)^2. O conteúdo aqui é convergência de séries numéricas e vamos usar o teste da comparação em limite com uma p-série.

Passo 2

Para ver o comportamento em ktoinfty, aproximamos cada fator: (2k-1)sim 2k, (k^2-1)sim k^2, (k+1)sim k e (k^2+4)^2sim k^4. Logo o termo geral ak se comporta como
aksim 2kcdot k^2kcdot k^4=2k^2,

Passo 3

Definimos bk=1/k^2 e calculamos o limite da razão:
limktoinftyakbk=limktoinfty(2k-1)(k^2-1)/( (k+1)(k^2+4)^2 )1/k^2=2,

Passo 4

Como esse limite é um número finito e não nulo, a série sum ak e a p-série sum bk convergem ou divergem juntas. Sabendo que sum1/k^2 converge (p=2>1), concluímos que nossa série também converge.

Resposta

A série converge.

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