Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty sen^2(1n)

Passo 1

Estamos diante da série de termos positivos sumn=1^inftysin^2l(1/nr). O conteúdo é análise de convergência de séries numéricas e vamos precisar do critério de comparação e da equivalência assintótica de sin x para xto0.

Passo 2

Para x>0 vale a desigualdade sin x< x. Assim, para todo n>=1 temos
sin^2l(1/nr)
Isso nos permite comparar cada termo da série dada com o termo da série sum1/n^2.

Passo 3

A série sumn=1^infty1/n^2 é uma série-p com p=2>1 e, portanto, converge. Pelo critério da comparação direta, como 0<=sin^2(1/n)<=1/n^2 e a série majorante converge, concluímos que a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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