Encontre a transformada Laplace da seguinte função.
x+1 & 0 <= x<2 3 & x >= 2

Passo 1

A função que temos é f(x)=x+1 para 0≤x<2 e f(x)=3 para x≥2. O objetivo é achar a transformada de Laplace F(s)=Lf(x)=integral0^inftyf(x)e^-sx,dx. Vamos usar a definição e dividir a integral em duas partes, conforme o intervalo onde f muda.

Passo 2

Pela definição,
F(s)=integral0^2(x+1)e^-sx,dx+integral2^infty3e^-sx,dx

Passo 3

Para I1=integral0^2(x+1)e^-sx,dx, separe em duas integrais:
integral x e^-sx,dx+integral e^-sx,dx

Passo 4

Usando integração por partes em integral x e^-sx,dx (com u=x, dv=e^-sxdx), obtemos
integral x e^-sx,dx=-xe^-sxs-e^-sxs^2+C

Passo 5

e
integral e^-sx,dx=-e^-sxs+C

Passo 6

Somando e avaliando de 0 a 2 dá
I1=l[-tfracxe^-sxs-tfrace^-sxs^2-tfrace^-sxsr]0^2=1s+1s^2-l(3e^-2ss+e^-2ss^2r)

Passo 7

Para I2=integral2^infty3e^-sx,dx, é integral exponencial simples:
I2=3l[-e^-sxsr]2^infty=3e^-2ss

Passo 8

Somando I1+I2 vemos que os termos em e^-2s/s se cancelam parcialmente e sobra
F(s)=1s+1s^2-e^-2ss^2

Resposta

F(s)=s+1s^2-e^-2ss^2

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