Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 1n^1+n

Passo 1

Estamos considerando a série sumn=1^infty 1n^n+1. O conteúdo é convergência de séries numéricas, e para decidir se ela converge ou diverge vamos usar o teste da razão (também conhecido como critério de D’Alembert).

Passo 2

Seja an = 1n^n+1. No teste da razão, calculamos
an+1an = 1/(n+1)^(n+2)1/n^(n+1) = n^n+1(n+1)^n+2 = l(nn+1r)^n+1cdot1n+1
Agora avaliamos o limite dessa razão quando ntoinfty. Sabemos que
limntoinftyl(nn+1r)^n+1 = e^-1,
e claramente limntoinfty1n+1=0. Logo,
limntoinftyan+1an = e^-1times 0 = 0

Passo 3

Pelo teste da razão, se esse limite L satisfaz L<1, a série converge absolutamente. Aqui L=0<1, então nossa série converge.
Portanto, podemos concluir que a série sumn=1^infty1n^n+1 converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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