Sejam
o paraboloide
,
, com orientação para cima e
o círculo
, orientado na direção positiva, que forma a fronteira de
no plano
. Verifique o teorema de Stokes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar o Teorema de Stokes para uma dada função vetorial e uma superfície específica. O que isso significa? Bom, o Teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície de algo chamado de “rotacional” da função vetorial com uma integral de linha ao redor da fronteira dessa superfície. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especialmente o conceito de rotacional e integração de superfícies e linhas. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função vetorial
e a superfície
que é o paraboloide
com
. A borda dessa superfície é o círculo
definido por
no plano
, orientado na direção positiva (contra horário quando visto de cima).
Passo 3
Segundo o Teorema de Stokes, temos que:
Onde
é o rotacional de
e
é o vetor normal à superfície
.
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional é dado por:
Substituindo
:
Calculando as derivadas:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o vetor normal
à superfície
. Como
está definida por
, podemos usar a parametrização implícita para obter o vetor normal.
O vetor normal para uma superfície
é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar do rotacional com o vetor normal:
Passo 7
A integral de superfície se transforma então em uma integral dupla sobre a região
no plano
definida pelo
, que no caso é o círculo
. Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares onde
e
. O elemento de área
em coordenadas polares é
.
Substituindo na integral:
Passo 8
Vamos resolver a integral dupla:
Primeiro, calculamos a integral interna em
:
Integrando termo a termo:
Substituindo
e
:
Passo 9
Agora, integramos em
de
a
:
A integral de
e
em um ciclo completo é zero, então sobra apenas:
Resposta
Portanto, a integral de superfície é igual a
, o que confirma o Teorema de Stokes para este caso.