Sejam F(x, y, z)=(2 z, 3 x, 5 y), S o paraboloide z=4-x^2-y^2, z >= 0, com orientação para cima e C o círculo x^2+y^2=4, orientado na direção positiva, que forma a fronteira de S no plano x y. Verifique o teorema de Stokes.
r integral duplaS(nabla times F) cdot eta d S=integral duplaS(nabla times F) cdot(-partial zpartial x i-partial zpartial y j+k) d A integral duplaR(5 i+2 j+3 k) cdot(2 x i+2 y j+k) d A=integral duplaR(10 x+4 y+3) d A integral0^2 pi integral0^2(10 r cos theta+4 r sen theta+3) r d r d theta=12 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar o Teorema de Stokes para uma dada função vetorial e uma superfície específica. O que isso significa? Bom, o Teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície de algo chamado de “rotacional” da função vetorial com uma integral de linha ao redor da fronteira dessa superfície. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especialmente o conceito de rotacional e integração de superfícies e linhas. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função vetorial F(x, y, z) = (2z, 3x, 5y) e a superfície S que é o paraboloide z = 4 - x^2 - y^2 com z >= 0. A borda dessa superfície é o círculo C definido por x^2 + y^2 = 4 no plano xy, orientado na direção positiva (contra horário quando visto de cima).

Passo 3

Segundo o Teorema de Stokes, temos que:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = ointC F cdot dr
Onde nabla times F é o rotacional de F e n é o vetor normal à superfície S.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de F. O rotacional é dado por:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )
Substituindo F = (2z, 3x, 5y):
nabla times F = ( partial (5y)partial y - partial (3x)partial z, partial (2z)partial z - partial (5y)partial x, partial (3x)partial x - partial (2z)partial y )
Calculando as derivadas:
nabla times F = (5 - 0, 2 - 0, 3 - 0) = (5, 2, 3)

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o vetor normal n à superfície S. Como S está definida por z = 4 - x^2 - y^2, podemos usar a parametrização implícita para obter o vetor normal.
O vetor normal para uma superfície z = f(x, y) é dado por:
n = ( -partial zpartial x, -partial zpartial y, 1 )
Calculando as derivadas parciais:
partial zpartial x = -2x e partial zpartial y = -2y
Então,
n = (2x, 2y, 1)

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar do rotacional com o vetor normal:
(nabla times F) cdot n = (5, 2, 3) cdot (2x, 2y, 1) = 5 cdot 2x + 2 cdot 2y + 3 cdot 1 = 10x + 4y + 3

Passo 7

A integral de superfície se transforma então em uma integral dupla sobre a região R no plano xy definida pelo z >= 0, que no caso é o círculo x^2 + y^2 <= 4. Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares onde x = rcostheta e y = rsintheta. O elemento de área dA em coordenadas polares é r , dr , dtheta.
Substituindo na integral:
integral duplaR (10x + 4y + 3) , dA = integral0^2pi integral0^2 (10rcostheta + 4rsintheta + 3) r , dr , dtheta

Passo 8

Vamos resolver a integral dupla:
integral0^2pi integral0^2 (10rcostheta + 4rsintheta + 3) r , dr , dtheta
Primeiro, calculamos a integral interna em r:
integral0^2 (10rcostheta + 4rsintheta + 3) r , dr = integral0^2 (10r^2costheta + 4r^2sintheta + 3r) , dr
Integrando termo a termo:
= [ 10r^33costheta + 4r^33sintheta + 3r^22 ]0^2
Substituindo r=2 e r=0:
= 10(8)3costheta + 4(8)3sintheta + 3(4)2 = 803costheta + 323sintheta + 6

Passo 9

Agora, integramos em theta de 0 a 2pi:
integral0^2pi ( 803costheta + 323sintheta + 6 ) dtheta
A integral de costheta e sintheta em um ciclo completo é zero, então sobra apenas:
integral0^2pi 6 , dtheta = 6 cdot 2pi = 12pi

Resposta

Portanto, a integral de superfície é igual a 12pi, o que confirma o Teorema de Stokes para este caso.

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